Se f e g são funções duas vezes deriváveis de uma única variável, mostre que a função
u(x, y) = x f(x + y) + y g(x + y)
satisfaz a equação u_xx - 2 u_xy + u_yy = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função satisfaz a equação diferencial . Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais e a regra da cadeia, que é essencial para derivar funções compostas como e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aplicando a regra da derivada:
Ao derivar, lembramos que é tratado como constante quando derivamos em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a , ou seja, . Derivando em relação a :
Aplicando a derivada:

Passo 4

Vamos calcular agora a primeira derivada parcial de em relação a , ou seja, :
Derivando:

Passo 5

Em seguida, calculamos a segunda derivada parcial mista derivando em relação a :
Derivando:

Passo 6

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a , ou seja, :
Derivando:

Passo 7

Agora, vamos montar a equação substituindo os valores que encontramos:
Simplificando termos:
Observamos que todos os termos se cancelam:

Resposta

A função satisfaz a equação .

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