Se
e
são funções duas vezes deriváveis de uma única variável, mostre que a função
satisfaz a equação
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função
satisfaz a equação diferencial
. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais e a regra da cadeia, que é essencial para derivar funções compostas como
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aplicando a regra da derivada:
Ao derivar, lembramos que
é tratado como constante quando derivamos em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Derivando
em relação a
:
Aplicando a derivada:
Passo 4
Vamos calcular agora a primeira derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
:
Derivando:
Passo 5
Em seguida, calculamos a segunda derivada parcial mista
derivando
em relação a
:
Derivando:
Passo 6
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
:
Derivando:
Passo 7
Agora, vamos montar a equação
substituindo os valores que encontramos:
Simplificando termos:
Observamos que todos os termos se cancelam:
Resposta
A função
satisfaz a equação
.