Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
(b) z = e^(x - y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a equação do plano tangente à superfície definida por em um ponto específico. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, mais precisamente, vamos calcular as derivadas parciais da função em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o plano tangente a uma superfície em um ponto pode ser encontrado usando a seguinte fórmula:
Aqui, e são as derivadas parciais da função em relação a e , respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais da função :
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, precisamos do ponto específico onde queremos encontrar o plano tangente. Suponhamos que esse ponto seja dado. Se não for, substitua os valores correspondentes aqui.
Vamos calcular usando a função:

Passo 5

Com as derivadas calculadas e o ponto , substituímos na fórmula do plano tangente:

Passo 6

Podemos simplificar essa equação fatorando :
Em seguida, distribuímos a multiplicação:

Passo 7

Organizando os termos, temos a equação final do plano tangente:

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto é:

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