Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a equação do plano tangente à superfície definida por
em um ponto específico. Para isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, mais precisamente, vamos calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o plano tangente a uma superfície em um ponto
pode ser encontrado usando a seguinte fórmula:
Aqui,
e
são as derivadas parciais da função
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais da função
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, precisamos do ponto específico
onde queremos encontrar o plano tangente. Suponhamos que esse ponto seja dado. Se não for, substitua os valores correspondentes aqui.
Vamos calcular
usando a função:
Passo 5
Com as derivadas calculadas e o ponto
, substituímos na fórmula do plano tangente:
Passo 6
Podemos simplificar essa equação fatorando
:
Em seguida, distribuímos a multiplicação:
Passo 7
Organizando os termos, temos a equação final do plano tangente:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície
no ponto
é: