Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado. ,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a equação do plano tangente à superfície em um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especialmente derivadas parciais, para encontrar as inclinações do plano nas direções de e .
Passo 2
Primeiro, vamos considerar um ponto geral na superfície, que podemos chamar de . Sabemos que , já que o ponto está na superfície definida por .
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais vão nos ajudar a entender como a superfície se comporta nas direções de e .
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto :
Passo 5
Com as derivadas em mãos, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores das derivadas que calculamos:
Passo 6
Vamos simplificar a equação:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto é: