Mostre que a função
f(x, cdots, xn)=(x1^2+cdots xn)^(2-n) / 2
satisfaz a equação
partial^2 fpartial x1^2+cdots+partial^2 fpartial xn^2=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que a função
f(x, cdots, xn)=(x1^2+cdots +xn^2)^(2-n) / 2
satisfaz a equação
partial^2 fpartial x1^2+cdots+partial^2 fpartial xn^2=0
Isso significa que a soma das segundas derivadas parciais de em relação a cada variável deve dar zero. Vamos precisar usar cálculo de derivadas parciais e entender um pouquinho sobre funções harmônicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a nossa função. Ela pode ser escrita como:
f(x1, dots, xn) = (x1^2 + x2^2 + dots + xn^2)^(2-n)/2
Vamos chamar f = r^2-n , então nossa função fica:
Entender essa forma mais simples vai facilitar a hora de calcular as derivadas.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a primeira derivada parcial de partial fpartial xi = d fd r cdot partial rpartial xi em relação a uma variável qualquer, digamos partial fpartial xi = (2-n) cdot r^1-n cdot xir = (2-n) cdot xi cdot r^-n . Usando a regra da cadeia, temos:
Calculando cada parte:
  1. .
  2. .
Então,

Passo 4

Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial de partial^2 fpartial xi^2 = partialpartial xi [ (2-n) cdot xi cdot r^-n ] em relação a partial^2 fpartial xi^2 = (2-n) cdot partial xipartial xi cdot r^-n + (2-n) cdot xi cdot partial r^-npartial xi . Novamente, aplicamos a derivada na expressão que encontramos para a primeira derivada:
partial^2 fpartial xi^2 = (2-n) cdot r^-n + (2-n)(-n) cdot xi^2 cdot r^-n-2
Usando a regra do produto:
partial^2 fpartial xi^2 = (2-n) cdot r^-n - n(2-n) cdot xi^2 cdot r^-n-2
Calculando cada termo:
  1. .
  2. .
Então,
Simplificando:

Passo 5

Agora que temos a segunda derivada para cada sumi=1^n partial^2 fpartial xi^2 = sumi=1^n [ (2-n) cdot r^-n - n(2-n) cdot xi^2 cdot r^-n-2 ] , vamos somar todas elas de (2-n) cdot r^-n cdot n - n(2-n) cdot r^-n-2 cdot sumi=1^n xi^2 até (2-n)n cdot r^-n - n(2-n) cdot r^-n-2 cdot r^2 :
(2-n)n cdot r^-n - n(2-n) cdot r^-n = 0
Podemos separar a soma:
Lembrando que , temos:
Simplificando :

Resposta

Portanto, a soma das segundas derivadas parciais de partial^2 fpartial x1^2+cdots+partial^2 fpartial xn^2=0 em relação a todas as variáveis é igual a zero. Isso mostra que a função satisfaz a equação

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