Mostre que a função
satisfaz a equação
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é mostrar que a função
satisfaz a equação
Isso significa que a soma das segundas derivadas parciais de
em relação a cada variável
deve dar zero. Vamos precisar usar cálculo de derivadas parciais e entender um pouquinho sobre funções harmônicas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a nossa função. Ela pode ser escrita como:
Vamos chamar
, então nossa função fica:
Entender essa forma mais simples vai facilitar a hora de calcular as derivadas.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a primeira derivada parcial de
em relação a uma variável qualquer, digamos
. Usando a regra da cadeia, temos:
Calculando cada parte:
-
. -
.
Então,
Passo 4
Agora, vamos encontrar a segunda derivada parcial de
em relação a
. Novamente, aplicamos a derivada na expressão que encontramos para a primeira derivada:
Usando a regra do produto:
Calculando cada termo:
-
. -
.
Então,
Simplificando:
Passo 5
Agora que temos a segunda derivada para cada
, vamos somar todas elas de
até
:
Podemos separar a soma:
Lembrando que
, temos:
Simplificando
:
Resposta
Portanto, a soma das segundas derivadas parciais de
em relação a todas as variáveis
é igual a zero. Isso mostra que a função
satisfaz a equação