Encontre as trajetórias ortogonais para cada uma das famílias de curvas indicadas, onde
é um parâmetro real.
d)
.
d)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por
, onde
é um número real. Isso significa que queremos achar outras curvas que se cruzem perpendicularmente a essas curvas para qualquer valor de
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas e equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da família de curvas original
. Para isso, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
:
Isso nos dá:
Passo 3
Agora, queremos expressar
em termos de
e
. Isolando
:
Mas sabemos que
pode ser expresso a partir da equação original
. Então,
Substituindo isso na expressão para
:
Passo 4
As trajetórias ortogonais têm derivadas que são negativas recíprocas das derivadas das curvas originais. Ou seja, se a derivada das curvas originais é
, então a derivada das trajetórias ortogonais será:
Passo 5
Agora, temos a equação diferencial para as trajetórias ortogonais:
Vamos separar as variáveis
e
:
Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Podemos renomear
apenas para
, já que
é uma constante arbitrária:
Resposta
As trajetórias ortogonais para a família de curvas
são dadas por:
Onde
é uma constante real.