Encontre as trajetórias ortogonais para cada uma das famílias de curvas indicadas, onde k é um parâmetro real.
d) y^2 = k x.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por , onde é um número real. Isso significa que queremos achar outras curvas que se cruzem perpendicularmente a essas curvas para qualquer valor de . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas e equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da família de curvas original . Para isso, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a :
Isso nos dá:

Passo 3

Agora, queremos expressar em termos de e . Isolando :
Mas sabemos que pode ser expresso a partir da equação original . Então,
Substituindo isso na expressão para :

Passo 4

As trajetórias ortogonais têm derivadas que são negativas recíprocas das derivadas das curvas originais. Ou seja, se a derivada das curvas originais é , então a derivada das trajetórias ortogonais será:

Passo 5

Agora, temos a equação diferencial para as trajetórias ortogonais:
Vamos separar as variáveis e :
Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Podemos renomear apenas para , já que é uma constante arbitrária:

Resposta

As trajetórias ortogonais para a família de curvas são dadas por:
Onde é uma constante real.

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