Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem .
z = x^(ln t)

Passo 1

Na questão, precisamos determinar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de derivadas parciais, exponenciais e logaritmos naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar o cálculo das derivadas. Podemos expressar usando a propriedade dos logaritmos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de em relação a . Usando a regra da cadeia:

Passo 4

Em seguida, calculamos a primeira derivada parcial de em relação a :

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a :
Substituindo por :

Passo 6

Agora, calculamos a segunda derivada parcial mista de em relação a e :
Substituindo por :

Passo 7

Por fim, calculamos a segunda derivada parcial de em relação a :
Substituindo por :

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:

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