Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem .
Passo 1
Na questão, precisamos determinar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de derivadas parciais, exponenciais e logaritmos naturais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
para facilitar o cálculo das derivadas. Podemos expressar
usando a propriedade dos logaritmos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
. Usando a regra da cadeia:
Passo 4
Em seguida, calculamos a primeira derivada parcial de
em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
:
Substituindo
por
:
Passo 6
Agora, calculamos a segunda derivada parcial mista de
em relação a
e
:
Substituindo
por
:
Passo 7
Por fim, calculamos a segunda derivada parcial de
em relação a
:
Substituindo
por
:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são: