Verifique se os vetores geram o espaço vetorial \mathbb{R}^{2}
\vec{v}=(1,0), \vec{u}=(-1,2)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores geram o espaço vetorial \mathbb{R}^{2}.
Dados fornecidos: \vec{v}=(1,0) e \vec{u}=(-1,2).
A pergunta concreta é: “Para todo (x,y)\in\mathbb{R}^{2}, existem escalares (reais) \alpha e \beta tais que \alpha\vec{v}+\beta\vec{u}=(x,y)?”

Passo 2

Vou usar o método direto de escrever uma combinação linear genérica \alpha\vec{v}+\beta\vec{u} e resolver para \alpha e \beta em função de uma dada (x,y). Esse método é direto e funciona bem em \mathbb{R}^{2} porque reduz a um pequeno sistema linear que dá para resolver à mão. Outra verificação equivalente (mais curta) é calcular o determinante da matriz formada pelos vetores e ver se é não nulo; vou mostrar também essa verificação por completude.

Passo 3

Primeiro, o que significa "gerar \mathbb{R}^{2}" de forma simples? Significa que qualquer vetor (x,y) pode ser escrito como combinação linear dos dados. Uma combinação linear de \vec{v} e \vec{u} tem a forma \alpha\vec{v}+\beta\vec{u}, onde \alpha e \beta são números reais. Aqui queremos saber se, para cada (x,y), podemos escolher \alpha e \beta que satisfaçam isso.

Passo 4

Escrevemos a equação da combinação linear para um vetor arbitrário (x,y):
\alpha\vec{v}+\beta\vec{u} = \alpha(1,0)+\beta(-1,2) = (\alpha-\beta,\;2\beta).
Queremos que isso seja igual a (x,y). Igualando coordenadas obtemos o sistema:
\begin{cases} \alpha - \beta = x,\\[4pt] 2\beta = y. \end{cases}]

Passo 5

Da segunda equação temos diretamente
\beta = \frac{y}{2}.
Substituindo na primeira equação:
\alpha - \frac{y}{2} = x \quad\Rightarrow\quad \alpha = x + \frac{y}{2}.
Portanto, para qualquer (x,y) escolhemos \beta=\dfrac{y}{2} e \alpha=x+\dfrac{y}{2}, que produzem exatamente (x,y) quando aplicados em \alpha\vec{v}+\beta\vec{u}.

Passo 6

Interpretação: como conseguimos expressar um (x,y) genérico com esses \alpha e \beta, concluímos que qualquer vetor de \mathbb{R}^{2} é combinação linear de \vec{v} e \vec{u}. Ou seja, \{\vec{v},\vec{u}\} gera \mathbb{R}^{2}.

Passo 7

Verificação alternativa pelo determinante (mais rápida): monte a matriz cujas colunas são \vec{v} e \vec{u},
A = \begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}.
O determinante é
\det(A)=1\cdot 2 - 0\cdot(-1)=2\neq 0.
Como o determinante é não nulo, as colunas são linearmente independentes e formam uma base de \mathbb{R}^{2}, logo também geram \mathbb{R}^{2}.]

Passo 8

Exemplo numérico para fixar a ideia: seja (x,y)=(3,5). Então \beta=\dfrac{5}{2} e \alpha=3+\dfrac{5}{2}=\dfrac{11}{2}. Calculando
\alpha\vec{v}+\beta\vec{u}=\dfrac{11}{2}(1,0)+\dfrac{5}{2}(-1,2)=\left(\dfrac{11}{2}-\dfrac{5}{2},\;0+\dfrac{10}{2}\right)=(3,5),
confirma que funciona na prática.

Resposta

Sim. Os vetores geram \mathbb{R}^{2}. Em particular, para todo (x,y)\in\mathbb{R}^{2} temos (x,y)=\left(x+\dfrac{y}{2}\right)\vec{v}+\left(\dfrac{y}{2}\right)\vec{u}.

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