Verifique se os vetores geram o espaço vetorial
Passo 1
O enunciado pede para verificar se os vetores geram o espaço vetorial
.
Dados fornecidos: e
.
A pergunta concreta é: “Para todo , existem escalares (reais)
e
tais que
?”
Dados fornecidos:
A pergunta concreta é: “Para todo
Passo 2
Vou usar o método direto de escrever uma combinação linear genérica
e resolver para
e
em função de uma dada
. Esse método é direto e funciona bem em
porque reduz a um pequeno sistema linear que dá para resolver à mão. Outra verificação equivalente (mais curta) é calcular o determinante da matriz formada pelos vetores e ver se é não nulo; vou mostrar também essa verificação por completude.
Passo 3
Primeiro, o que significa "gerar
" de forma simples? Significa que qualquer vetor
pode ser escrito como combinação linear dos dados. Uma combinação linear de
e
tem a forma
, onde
e
são números reais. Aqui queremos saber se, para cada
, podemos escolher
e
que satisfaçam isso.
Passo 4
Escrevemos a equação da combinação linear para um vetor arbitrário
:
Queremos que isso seja igual a
. Igualando coordenadas obtemos o sistema:
Passo 5
Da segunda equação temos diretamente
Substituindo na primeira equação:
Portanto, para qualquer
escolhemos
e
, que produzem exatamente
quando aplicados em
.
Passo 6
Interpretação: como conseguimos expressar um
genérico com esses
e
, concluímos que qualquer vetor de
é combinação linear de
e
. Ou seja,
gera
.
Passo 7
Verificação alternativa pelo determinante (mais rápida): monte a matriz cujas colunas são
e
,
O determinante é
Como o determinante é não nulo, as colunas são linearmente independentes e formam uma base de
, logo também geram
.]
Passo 8
Exemplo numérico para fixar a ideia: seja
. Então
e
. Calculando
confirma que funciona na prática.
Resposta
Sim. Os vetores geram
. Em particular, para todo
temos
.