Determine uma equação do plano tangente à superfície z=x \operatorname{seu}(x+y) no ponto (-2,2,0).

Passo 1

O enunciado trata de encontrar o plano tangente à superfície
z = x\,\operatorname{sen}(x+y)
no ponto (x_0,y_0,z_0)=(-2,2,0).
O conteúdo principal é derivação parcial e fórmula do plano tangente via aproximação linear.

Passo 2

Para obter as derivadas parciais, aplicamos regra do produto e, no termo interno, regra da cadeia.
Para \frac{\partial z}{\partial x}:
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl[x\cdot\operatorname{sen}(x+y)\bigr] = \operatorname{sen}(x+y) + x\cdot\cos(x+y)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x+y) = \operatorname{sen}(x+y) + x\,\cos(x+y).

Passo 3

Para \frac{\partial z}{\partial y}, só varia o argumento da função seno:
\frac{\partial z}{\partial y} = x\cdot\cos(x+y)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x+y) = x\,\cos(x+y).

Passo 4

Avalia-mos as parciais em (x_0,y_0)=(-2,2).
Aqui x_0+y_0=-2+2=0, logo \operatorname{sen}(0)=0 e \cos(0)=1.
Portanto
\displaystyle \left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(-2,2)} = 0 + (-2)\cdot1 = -2,
\displaystyle \left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(-2,2)} = (-2)\cdot1 = -2.

Passo 5

A fórmula do plano tangente é
z - z_0 = f_x(x_0,y_0)\,(x - x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y - y_0).
Substituindo z_0=0, f_x=-2, f_y=-2, x_0=-2, y_0=2:
z - 0 = -2\,(x + 2)\;+\;-2\,(y - 2).
Simplificando:
z = -2x -4 \;-\;2y +4 \quad\Longrightarrow\quad z = -2x -2y.

Resposta

A equação do plano tangente é
\boxed{z = -2x - 2y.}

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