Se f(x, y, z)=x y^{2} z^{3}+\operatorname{arcsen}(x \sqrt{z}), determine \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial z}, \frac{\partial f}{\partial y}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de
f(x,y,z)=x\,y^{2}\,z^{3}+\arcsin\bigl(x\sqrt{z}\bigr).
O conteúdo envolve:
  1. Derivada parcial de monômio em várias variáveis (regra do produto quando aplicável).
  2. Derivada de \arcsin(u), que é
\frac{d}{du}\arcsin(u)=\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}
e aplicação da regra da cadeia para u=x\sqrt{z}.

Passo 2

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} tratamos cada termo:
O primeiro termo x\,y^{2}\,z^{3} visto como produto em que só x varia dá
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\,y^{2}\,z^{3}\bigr)=y^{2}\,z^{3}.
No segundo termo \arcsin\bigl(x\sqrt{z}\bigr) usamos regra da cadeia: se u=x\sqrt{z} então
\frac{\partial}{\partial x}\arcsin(u) =\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\cdot\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{1}{\sqrt{1-\bigl(x\sqrt{z}\bigr)^{2}}}\cdot\sqrt{z} =\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{1 - x^{2}z}}.
Somando os dois resultados,
\frac{\partial f}{\partial x} =y^{2}z^{3}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{1 - x^{2}z}}.

Passo 3

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} o segundo termo não depende de y, então só deriva o monômio x\,y^{2}\,z^{3}. Tem x e z como constantes, logo
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\,y^{2}\,z^{3}\bigr) = x\,z^{3}\cdot 2y =2\,x\,y\,z^{3}.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}=2\,x\,y\,z^{3}.

Passo 4

Para \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z} derivamos de dois modos:
No monômio x\,y^{2}\,z^{3}, mantendo x,y constantes, obtemos
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x\,y^{2}\,z^{3}\bigr) = x\,y^{2}\cdot 3z^{2} =3\,x\,y^{2}\,z^{2}.
Em \arcsin\bigl(x\sqrt{z}\bigr), com u=x\sqrt{z}, temos
\frac{\partial u}{\partial z} =x\cdot\frac{1}{2\sqrt{z}} =\frac{x}{2\sqrt{z}},
e assim pela cadeia
\frac{\partial}{\partial z}\arcsin(u) =\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\,\frac{\partial u}{\partial z} =\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}z}}\cdot\frac{x}{2\sqrt{z}} =\frac{x}{2\sqrt{z}\,\sqrt{1 - x^{2}z}}.
Somando,
\frac{\partial f}{\partial z} =3\,x\,y^{2}\,z^{2}+\frac{x}{2\sqrt{z}\,\sqrt{1 - x^{2}z}}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x} =y^{2}z^{3}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{1 - x^{2}z}},
\frac{\partial f}{\partial y} =2\,x\,y\,z^{3},
\frac{\partial f}{\partial z} =3\,x\,y^{2}\,z^{2}+\frac{x}{2\sqrt{z}\,\sqrt{1 - x^{2}z}}.

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