\int\left(5 x+2 x^{3}-3 / x\right) d x=

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\bigl(5x + 2x^{3} - \tfrac{3}{x}\bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é integração de soma de termos do tipo polinomial e de potência negativa. Vamos usar a linearidade da integral e a regra de potência:
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\quad(n\neq -1),
e, no caso n=-1,
\int x^{-1}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C.

Passo 2

Separar a integral em três partes usando a propriedade de soma:
\int\bigl(5x + 2x^{3} - \tfrac{3}{x}\bigr)\,dx = \int 5x\,dx \;+\;\int 2x^{3}\,dx \;-\;\int \frac{3}{x}\,dx.

Passo 3

Calcular \displaystyle \int 5x\,dx.
Aplicando a regra de potência com n=1 e fator constante:
\int 5x\,dx = 5\;\frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{5}{2}\,x^{2}.

Passo 4

Calcular \displaystyle \int 2x^{3}\,dx.
Aqui n=3, então
\int 2x^{3}\,dx = 2\;\frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{2}{4}\,x^{4} = \frac{1}{2}\,x^{4}.

Passo 5

Calcular \displaystyle \int \frac{3}{x}\,dx = 3\int x^{-1}\,dx.
Usando a integral de x^{-1},
3\int x^{-1}\,dx = 3\,\ln\lvert x\rvert.
Como havia o sinal menos na separação,
-\int \frac{3}{x}\,dx = -3\,\ln\lvert x\rvert.

Passo 6

Somando os três resultados e adicionando a constante de integração C, temos:
\int\bigl(5x + 2x^{3} - \tfrac{3}{x}\bigr)\,dx = \frac{5}{2}x^{2} + \frac{1}{2}x^{4} - 3\ln\lvert x\rvert + C.

Resposta

\frac{1}{2}\,x^{4} + \frac{5}{2}\,x^{2} - 3\ln\lvert x\rvert + C.

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