Determine a equação do plano tangente à z^{2}=11-5 x^{2} y no ponto ( 1,2,-1 ). ( 3,0 pontos)

Passo 1

O enunciado define a superfície pelo implicito
z^{2} = 11 - 5x^{2}y
e pede o plano tangente a essa superfície no ponto (1,2,-1).
Para resolver, vamos usar a função
F(x,y,z) = z^{2} + 5x^{2}y - 11
cuja superfície é F(x,y,z)=0. O plano tangente em (x_{0},y_{0},z_{0}) satisfaz
\nabla F(x_{0},y_{0},z_{0}) \cdot \bigl((x,y,z)-(x_{0},y_{0},z_{0})\bigr)=0.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de F:
F_{x}(x,y,z) = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(z^{2}+5x^{2}y-11\bigr) =10xy,
F_{y}(x,y,z) = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(z^{2}+5x^{2}y-11\bigr) =5x^{2},
F_{z}(x,y,z) = \frac{\partial}{\partial z}\bigl(z^{2}+5x^{2}y-11\bigr) =2z.

Passo 3

Avaliamo essas parciais em (x_{0},y_{0},z_{0})=(1,2,-1):
F_{x}(1,2,-1)=10\cdot1\cdot2=20,\quad F_{y}(1,2,-1)=5\cdot1^{2}=5,\quad F_{z}(1,2,-1)=2\cdot(-1)=-2.

Passo 4

O plano tangente fica
\nabla F(1,2,-1)\cdot\bigl((x,y,z)-(1,2,-1)\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad 20(x-1)+5(y-2)-2\bigl(z+1\bigr)=0.
Desenvolvendo:
20x -20 +5y -10 -2z -2 =0 \quad\Longrightarrow\quad 20x +5y -2z -32 =0.

Resposta

A equação do plano tangente é
20x + 5y - 2z = 32.

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