Seja \frac{d x}{d t}=y, \frac{d y}{d t}=-10 y-x^{3}-x^{5} e F(x, y)=\frac{y^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{4}+\frac{x^{6}}{6}, calcule \frac{1}{-y^{2}} \frac{d}{d t} F(x(t), y(t)) .(2,0 pontos )

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
\displaystyle \frac{dx}{dt}=y,
\displaystyle \frac{dy}{dt}=-10y - x^3 - x^5
e a função
\displaystyle F(x,y)=\frac{y^2}{2}+\frac{x^4}{4}+\frac{x^6}{6}.
Queremos calcular ao longo da solução
\displaystyle \frac{1}{-y^2}\,\frac{d}{dt}F\bigl(x(t),y(t)\bigr).
O conteúdo principal é aplicar a regra da cadeia para obter \tfrac{dF}{dt}.

Passo 2

Vamos achar as derivadas parciais de F:
\frac{\partial F}{\partial x} = x^3 + x^5
\frac{\partial F}{\partial y} = y

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia para \displaystyle \frac{dF}{dt}:
\frac{dF}{dt} = \frac{\partial F}{\partial x}\,\frac{dx}{dt} + \frac{\partial F}{\partial y}\,\frac{dy}{dt} = (x^3 + x^5)\,y + y\,\bigl(-10y - x^3 - x^5\bigr) = -10\,y^2

Passo 4

Agora dividimos por -y^2:
\frac{1}{-y^2}\,\frac{dF}{dt} = \frac{1}{-y^2}\,(-10\,y^2) = 10

Resposta

10

Exercícios relacionados