Use o teste da razão para determinar se a série converge. Se o teste for inconclusivo, diga isso.
\sum_{k=1}^{\infty} k\left(\frac{1}{2}\right)^{k}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{k=1}^{\infty}k\bigl(\tfrac12\bigr)^{k}
aplicando o teste da razão. Para isso, vamos identificar o termo geral e calcular o limite da razão entre termos consecutivos.

Passo 2

O termo geral da série é
a_{k} = k\bigl(\tfrac12\bigr)^{k}.

Passo 3

No teste da razão, consideramos
\left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right| = \frac{(k+1)\bigl(\tfrac12\bigr)^{\,k+1}}{k\bigl(\tfrac12\bigr)^{\,k}} = \frac{k+1}{k}\;\frac12 = \frac12\Bigl(1 + \tfrac1k\Bigr).

Passo 4

Calculamos o limite quando k\to\infty:
L = \lim_{k\to\infty}\frac12\Bigl(1 + \tfrac1k\Bigr) = \frac12 < 1.

Passo 5

Como L<1, o teste da razão conclui que a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série converge.

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