Identifique a superfície que tem a equação paramétrica dada.
\mathbf{r}(u, v)=2 \operatorname{sen} u \mathbf{i}+3 \cos u \mathbf{j}+v \mathbf{k}, 0 \leqslant v \leqslant 2
\mathbf{r}(u, v)=2 \operatorname{sen} u \mathbf{i}+3 \cos u \mathbf{j}+v \mathbf{k}, 0 \leqslant v \leqslant 2
Passo 1
O enunciado dá a parametrização
com
, e pede para identificar a superfície. O conteúdo aqui é reconhecimento de cilindros elípticos via eliminação de parâmetros.
Passo 2
Escrevemos as componentes em função de
e
:
Passo 3
Eliminamos o parâmetro
usando a relação trigonométrica
. Temos
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Passo 4
A equação cartesiana resultante
não envolve
, o que caracteriza um cilindro elíptico cujo eixo é a reta
. O intervalo
vira
, ou seja, a “altura” do cilindro fica limitada entre os planos
e
.
Resposta
A superfície é o cilindro elíptico de equação
com
.