Identifique a superfície que tem a equação paramétrica dada.
\mathbf{r}(u, v)=2 \operatorname{sen} u \mathbf{i}+3 \cos u \mathbf{j}+v \mathbf{k}, 0 \leqslant v \leqslant 2

Passo 1

O enunciado dá a parametrização
\mathbf{r}(u,v) = \bigl(2\sin u,\;3\cos u,\;v\bigr)
com 0\le v\le 2, e pede para identificar a superfície. O conteúdo aqui é reconhecimento de cilindros elípticos via eliminação de parâmetros.

Passo 2

Escrevemos as componentes em função de u e v:
x(u,v)=2\sin u,\quad y(u,v)=3\cos u,\quad z(u,v)=v.

Passo 3

Eliminamos o parâmetro u usando a relação trigonométrica \sin^2u+\cos^2u=1. Temos
\frac{x^2}{4} = \sin^2u, \quad \frac{y^2}{9} = \cos^2u
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\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = \sin^2u + \cos^2u = 1.

Passo 4

A equação cartesiana resultante
\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1
não envolve z, o que caracteriza um cilindro elíptico cujo eixo é a reta x=y=0. O intervalo 0\le v\le2 vira 0\le z\le2, ou seja, a “altura” do cilindro fica limitada entre os planos z=0 e z=2.

Resposta

A superfície é o cilindro elíptico de equação
\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1,
com 0 \le z \le 2.

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