(valor 3,0 pontos) Determine os pontos extremos da fungio
f(x, y, z)=2 x^2+3 y^2+z^2
sobre o plano de equação
2 x+6 y+z=60

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos extremos da função f(x, y, z) = 2x^2 + 3y^2 + z^2 no plano definido pela equação 2x + 6y + z = 60 . Esse tipo de problema faz parte do estudo de otimização com restrições, onde buscamos os valores máximos ou mínimos de uma função considerando certas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a equação do plano 2x + 6y + z = 60 para expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos isolar z :
z = 60 - 2x - 6y

Passo 3

Agora, substituímos essa expressão de z na função f(x, y, z) :
f(x, y) = 2x^2 + 3y^2 + (60 - 2x - 6y)^2

Passo 4

Vamos expandir o termo (60 - 2x - 6y)^2 :
(60 - 2x - 6y)^2 = 3600 - 240x - 720y + 4x^2 + 24xy + 36y^2

Passo 5

Substituímos de volta na função f(x, y) :
f(x, y) = 2x^2 + 3y^2 + 3600 - 240x - 720y + 4x^2 + 24xy + 36y^2
Simplificando:
f(x, y) = 6x^2 + 39y^2 + 24xy - 240x - 720y + 3600

Passo 6

Para encontrar os pontos extremos, calculamos as derivadas parciais de f em relação a x e y e as igualamos a zero.
Primeiro, a derivada parcial em relação a x :
partial fpartial x = 12x + 24y - 240 = 0
E a derivada parcial em relação a y :
partial fpartial y = 78y + 24x - 720 = 0

Passo 7

Resolvemos o sistema de equações:
12x + 24y = 240 24x + 78y = 720
Podemos simplificar a primeira equação dividindo por 12:
x + 2y = 20 (1)
E a segunda equação dividindo por 6:
4x + 13y = 120 (2)

Passo 8

Resolvemos a equação (1) para x :
x = 20 - 2y
Substituímos na equação (2):
4(20 - 2y) + 13y = 120
80 - 8y + 13y = 120
5y = 40 implies y = 8

Passo 9

Com y = 8 , encontramos x :
x = 20 - 2(8) = 4
E, usando a equação do plano para achar z :
z = 60 - 2(4) - 6(8) = 60 - 8 - 48 = 4

Resposta

O ponto extremo é (x, y, z) = (4, 8, 4) .

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