Determine uma equação (de qualquer tipo) da reta que passa pela origem e é simultaneamente ortogonal às retas.
r: x-1=y-23=-z-14
s:cx=2 y+3 z=4+y

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinarmos uma equação de uma reta que passa pela origem e é simultaneamente ortogonal às retas dadas:
r: x-1=y-23=-z-14
s:cx=2 y+3 z=4+y
Para isso, vamos utilizar conceitos de vetores diretores e produto vetorial da geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os vetores diretores das retas r e s. O vetor diretor de uma reta representa a direção na qual a reta está orientada.
Para a reta r:
A equação simétrica da reta é:
x-1=y-23=-z-14
Podemos reescrever essa equação parametrizando com um parâmetro t:
x = 1 + t y = 2 + 3t z = -1 - 4t
Portanto, o vetor diretor da reta r é:
vr = 1 3 -4

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor diretor da reta s. A equação paramétrica da reta s é dada por:
c x=2 y+3 z=4+y
Podemos parametrizar com y = t:
x = 2t + 3 y = t z = t + 4
Assim, o vetor diretor da reta s é:
vs = 2 1 1

Passo 4

A reta que procuramos deve ser ortogonal a ambas as retas r e s e passar pela origem. Para que uma reta seja ortogonal a duas outras, seu vetor diretor deve ser perpendicular aos vetores diretores dessas retas.
Matematicamente, isso significa que o vetor diretor v da nossa reta buscada deve satisfazer:
v cdot vr = 0 v cdot vs = 0
Onde cdot representa o produto escalar entre vetores.

Passo 5

Para encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos vr e vs, podemos calcular o produto vetorial entre eles. O produto vetorial de dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois originais.
Calculando vr times vs:
vr = 1 3 -4 , vs = 2 1 1
vr times vs = i & j & k 1 & 3 & -4 2 & 1 & 1 = i(3 cdot 1 - (-4) cdot 1) - j(1 cdot 1 - (-4) cdot 2) + k(1 cdot 1 - 3 cdot 2)
= i(3 + 4) - j(1 + 8) + k(1 - 6) = i(7) - j(9) + k(-5) = 7 -9 -5

Passo 6

Agora que temos o vetor diretor da reta que procuramos, que é:
v = 7 -9 -5
Como a reta passa pela origem, sua equação vetorial é:
r(t) = t cdot v = t 7 -9 -5
Isso significa que as equações paramétricas da reta são:
x = 7t y = -9t z = -5t

Resposta

A equação da reta que passa pela origem e é ortogonal às retas dadas é:
x = 7t y = -9t z = -5t
onde t é um parâmetro real.

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