Determine uma equação (de qualquer tipo) da reta que passa pela origem e é simultaneamente ortogonal às retas.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinarmos uma equação de uma reta que passa pela origem e é simultaneamente ortogonal às retas dadas:
Para isso, vamos utilizar conceitos de vetores diretores e produto vetorial da geometria analítica.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os vetores diretores das retas e . O vetor diretor de uma reta representa a direção na qual a reta está orientada.
Para a reta :
A equação simétrica da reta é:
Podemos reescrever essa equação parametrizando com um parâmetro :
Portanto, o vetor diretor da reta é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor diretor da reta s. A equação paramétrica da reta s é dada por:
c x=2 y+3 z=4+y
Podemos parametrizar com y = t:
x = 2t + 3 y = t z = t + 4
Assim, o vetor diretor da reta s é:
vs = 2 1 1
Passo 4
A reta que procuramos deve ser ortogonal a ambas as retas r e s e passar pela origem. Para que uma reta seja ortogonal a duas outras, seu vetor diretor deve ser perpendicular aos vetores diretores dessas retas.
Matematicamente, isso significa que o vetor diretor v da nossa reta buscada deve satisfazer:
v cdot vr = 0 v cdot vs = 0
Onde cdot representa o produto escalar entre vetores.
Passo 5
Para encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos vr e vs, podemos calcular o produto vetorial entre eles. O produto vetorial de dois vetores resulta em um terceiro vetor que é perpendicular aos dois originais.