Encontre a equação vetorial, paramétricas e geral (qualquer formas) para plano que passa por e é normal a .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a equação vetorial, as paramétricas e a equação geral de um plano que passa pelo ponto e tem como normal o vetor . Vamos usar conceitos de geometria analítica para resolver isso, especificamente sobre como definir um plano no espaço usando um ponto e um vetor normal.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação vetorial do plano. A equação vetorial de um plano pode ser escrita da seguinte forma:
Aqui, é um ponto no plano, e e são vetores diretores que estão dentro do plano (ou seja, perpendiculares ao vetor normal ). Como temos o vetor normal, precisamos encontrar dois vetores que sejam perpendiculares a ele.
Passo 3
Vamos escolher dois vetores e que estejam no plano. Para isso, eles devem satisfazer a condição de que o produto escalar com o vetor normal seja zero:
Vamos escolher:
Vamos verificar:
Então, esses vetores estão certinhos dentro do plano.
Passo 4
Com os vetores e definidos, a equação vetorial do plano fica:
Aqui, e são parâmetros reais que variam.
Passo 5
Agora, vamos extrair as equações paramétricas a partir da equação vetorial. Basta separar cada componente:
Essas equações descrevem todos os pontos do plano em termos dos parâmetros s e t.
Passo 6
Por fim, vamos encontrar a equação geral do plano. Sabemos que a equação de um plano com vetor normal n=(a,b,c) e passando pelo ponto (x0,y0,z0) é: