Encontre a equação vetorial, paramétricas e geral (qualquer formas) para plano que passa por A=(-1,2,1) e é normal a n=(-1,2,3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a equação vetorial, as paramétricas e a equação geral de um plano que passa pelo ponto A=(-1,2,1) e tem como normal o vetor n=(-1,2,3). Vamos usar conceitos de geometria analítica para resolver isso, especificamente sobre como definir um plano no espaço usando um ponto e um vetor normal.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação vetorial do plano. A equação vetorial de um plano pode ser escrita da seguinte forma:
r = A + su + tv
Aqui, A é um ponto no plano, e u e v são vetores diretores que estão dentro do plano (ou seja, perpendiculares ao vetor normal n). Como temos o vetor normal, precisamos encontrar dois vetores que sejam perpendiculares a ele.

Passo 3

Vamos escolher dois vetores u e v que estejam no plano. Para isso, eles devem satisfazer a condição de que o produto escalar com o vetor normal seja zero:
n cdot u = 0 e n cdot v = 0
Vamos escolher:
u = (2,1,0) e v = (3,0,1)
Vamos verificar:
n cdot u = (-1)(2) + (2)(1) + (3)(0) = -2 + 2 + 0 = 0
n cdot v = (-1)(3) + (2)(0) + (3)(1) = -3 + 0 + 3 = 0
Então, esses vetores estão certinhos dentro do plano.

Passo 4

Com os vetores u e v definidos, a equação vetorial do plano fica:
r = (-1,2,1) + s(2,1,0) + t(3,0,1)
Aqui, s e t são parâmetros reais que variam.

Passo 5

Agora, vamos extrair as equações paramétricas a partir da equação vetorial. Basta separar cada componente:
x = -1 + 2s + 3t y = 2 + s z = 1 + t
Essas equações descrevem todos os pontos do plano em termos dos parâmetros s e t.

Passo 6

Por fim, vamos encontrar a equação geral do plano. Sabemos que a equação de um plano com vetor normal n=(a,b,c) e passando pelo ponto (x0,y0,z0) é:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Substituindo os valores que temos:
-1(x + 1) + 2(y - 2) + 3(z - 1) = 0
Simplificando:
-x -1 + 2y -4 + 3z -3 = 0 -x + 2y + 3z -8 = 0 -x + 2y + 3z = 8

Resposta

As equações do plano são:
  • Equação Vetorial:
r = (-1,2,1) + s(2,1,0) + t(3,0,1)
  • Equações Paramétricas:
x = -1 + 2s + 3t y = 2 + s z = 1 + t
  • Equação Geral:
-x + 2y + 3z = 8

Exercícios relacionados