Determine a posiçãos relativa e a interseç̧ão entre as retas abaixo:
r:(x, y, z)=(-2,0,1)+t(2,1,1) e
s:cy=1-x z=2+2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde temos que descobrir a posição relativa e a possível interseção entre duas retas no espaço. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente o estudo de retas no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como representar retas em forma paramétrica e também como resolver sistemas de equações para encontrar pontos de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações das retas dadas. A reta (x, y, z) = (-2, 0, 1) + t(2, 1, 1) está na forma paramétrica:
y = 1 - x z = 2 + 2x
Isso significa que qualquer ponto na reta pode ser encontrado variando o parâmetro .
A reta está definida por:
Aqui, podemos expressar e em termos de , o que também nos permite parametrizar a reta .

Passo 3

Vamos igualar as duas retas para ver se elas se cruzam em algum ponto. Primeiro, vamos expressar a reta x = -2 + 2t y = 0 + t z = 1 + t em termos das coordenadas y = 1 - x e z = 2 + 2x :
y = 1 - (-2 + 2t) = 1 + 2 - 2t = 3 - 2t
Agora, sabemos que na reta z = 2 + 2(-2 + 2t) = 2 - 4 + 4t = -2 + 4t :
Podemos substituir da reta nas equações da reta :

Passo 4

Agora, vamos igualar as expressões de Da reta r: y = t e z = 1 + t e Da reta s: y = 3 - 2t e z = -2 + 4t das duas retas para encontrar o valor de t = 3 - 2t Rightarrow 3t = 3 Rightarrow t = 1 :
1 + 1 = 2 e -2 + 4(1) = 2
Igualando :
Agora, vamos verificar com :
Como ambos dão , o valor de satisfaz ambas as equações.

Passo 5

Com x = -2 + 2(1) = 0 , vamos encontrar as coordenadas do ponto de interseção:
y = 1
z = 2
Portanto, as retas e se intersectam no ponto .

Resposta

As retas e se intersectam no ponto .

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