Determine a posiçãos relativa e a interseç̧ão entre as retas abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde temos que descobrir a posição relativa e a possível interseção entre duas retas no espaço. A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente o estudo de retas no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como representar retas em forma paramétrica e também como resolver sistemas de equações para encontrar pontos de interseção.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações das retas dadas. A reta está na forma paramétrica:
Isso significa que qualquer ponto na reta pode ser encontrado variando o parâmetro .
A reta está definida por:
Aqui, podemos expressar e em termos de , o que também nos permite parametrizar a reta .
Passo 3
Vamos igualar as duas retas para ver se elas se cruzam em algum ponto. Primeiro, vamos expressar a reta em termos das coordenadas :
Agora, sabemos que na reta z = 2 + 2(-2 + 2t) = 2 - 4 + 4t = -2 + 4t :
Podemos substituir da reta nas equações da reta :
Passo 4
Agora, vamos igualar as expressões de Da reta r: y = t e z = 1 + t e Da reta s: y = 3 - 2t e z = -2 + 4t das duas retas para encontrar o valor de t = 3 - 2t Rightarrow 3t = 3 Rightarrow t = 1 :
1 + 1 = 2 e -2 + 4(1) = 2
Igualando :
Agora, vamos verificar com :
Como ambos dão , o valor de satisfaz ambas as equações.
Passo 5
Com x = -2 + 2(1) = 0 , vamos encontrar as coordenadas do ponto de interseção: