Determine a equação reduzida, o foco, a diretriz, o vértice e faça um esboço do gráfico das seguintes parábolas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação de uma parábola:
. Nosso objetivo é transformar essa equação para a forma reduzida, encontrar o vértice, o foco, a diretriz e, por fim, fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre parábolas.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação das características da parábola. A equação dada é:
Vamos isolar os termos que envolvem
:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
. Isso ajuda a transformar a equação na forma padrão da parábola. Veja como:
Adicionamos e subtraímos
no lado esquerdo:
Isso simplifica para:
Passo 4
Vamos agora expressar a equação na forma padrão da parábola que abre para cima ou para baixo:
Comparando com o que temos:
Aqui,
,
e
, logo
.
Passo 5
O vértice da parábola é
. Então, temos:
Esse ponto é o ponto de mínimo ou máximo da parábola, dependendo da direção que ela abre.
Passo 6
Para encontrar o foco e a diretriz, usamos o valor de
:
-
Foco:
-
Diretriz:
Passo 7
Agora que temos todas as informações, podemos fazer um esboço do gráfico:
- Vértice em
- Foco em
- Diretriz na linha
- A parábola abre para baixo porque
é negativo.
Imagino uma parábola simétrica em relação à linha
, com ponto mais alto no vértice e abrindo para baixo.
Resposta
A equação reduzida da parábola é
, com vértice em
, foco em
, diretriz na linha
e um gráfico que abre para baixo.