Determine a equação reduzida, o foco, a diretriz, o vértice e faça um esboço do gráfico das seguintes parábolas: x^2+4 x+4 y-8=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação de uma parábola: . Nosso objetivo é transformar essa equação para a forma reduzida, encontrar o vértice, o foco, a diretriz e, por fim, fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre parábolas.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação das características da parábola. A equação dada é:
x^2 + 4x + 4y - 8 = 0
Vamos isolar os termos que envolvem x^2 + 4x = -4y + 8 :

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de x^2 + 4x = -4y + 8 . Isso ajuda a transformar a equação na forma padrão da parábola. Veja como:
x^2 + 4x + 4 = -4y + 8 + 4
Adicionamos e subtraímos (x + 2)^2 = -4y + 12 no lado esquerdo:
Isso simplifica para:

Passo 4

Vamos agora expressar a equação na forma padrão da parábola que abre para cima ou para baixo:
(x - h)^2 = 4p(y - k)
Comparando com o que temos:
(x + 2)^2 = -4(y - 3)
Aqui, , e , logo .

Passo 5

O vértice da parábola é Vértice = (-2, 3) . Então, temos:
é
Esse ponto é o ponto de mínimo ou máximo da parábola, dependendo da direção que ela abre.

Passo 6

Para encontrar o foco e a diretriz, usamos o valor de Foco = (-2, 3 + (-1)) = (-2, 2) :
  • Foco: Diretriz = y = 3 - (-1) = 4
  • Diretriz:

Passo 7

Agora que temos todas as informações, podemos fazer um esboço do gráfico:
  1. Vértice em
  2. Foco em
  3. Diretriz na linha
  4. A parábola abre para baixo porque é negativo.
Imagino uma parábola simétrica em relação à linha , com ponto mais alto no vértice e abrindo para baixo.

Resposta

A equação reduzida da parábola é , com vértice em , foco em , diretriz na linha e um gráfico que abre para baixo.

Exercícios relacionados