(Potencias de
) Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre potências de
. Aqui,
é a unidade imaginária, onde sabemos que
. Para resolver isso, vamos calcular as potências de
passo a passo e observar o padrão que se repete.
Passo 2
Primeiro, calculamos
:
Isso já foi dado, mas é importante lembrar que essa é a base para calcular as próximas potências.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar
por
para encontrar
:
Então,
.
Passo 4
Seguimos multiplicando
por
para achar
:
Portanto,
.
Passo 5
Continuando, multiplicamos
por
para encontrar
:
Vemos que
, o que mostra que o padrão começa a se repetir.
Passo 6
Assim, observamos que as potências de
seguem um ciclo de 4:
Passo 7
Agora, vamos calcular as inversas das potências de
. Sabemos que multiplicar por
é o mesmo que rotacionar no plano complexo, então:
Porque
.
Passo 8
Para
:
Passo 9
E para
:
Já que
.
Resposta
Mostramos que as potências de
seguem o padrão
,
,
,
, e assim por diante. Além disso, as inversas seguem
,
,
, etc.