(Potencias de i ) Mostre que i^2=-1, i^3=-i, i^4=1, i^5=i, cdots e 1 / i=-i, 1 / i^2=-1,1 / i^3=i, cdots.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre potências de . Aqui, é a unidade imaginária, onde sabemos que . Para resolver isso, vamos calcular as potências de passo a passo e observar o padrão que se repete.

Passo 2

Primeiro, calculamos i^2 = -1 :
Isso já foi dado, mas é importante lembrar que essa é a base para calcular as próximas potências.

Passo 3

Agora, vamos multiplicar i^3 = i^2 cdot i = (-1) cdot i = -i por para encontrar :
Então, .

Passo 4

Seguimos multiplicando i^4 = i^3 cdot i = (-i) cdot i = -i^2 = -(-1) = 1 por para achar :
Portanto, .

Passo 5

Continuando, multiplicamos i^5 = i^4 cdot i = 1 cdot i = i por para encontrar :
Vemos que , o que mostra que o padrão começa a se repetir.

Passo 6

Assim, observamos que as potências de i^1 = i, i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1, i^5 = i, e assim por diante seguem um ciclo de 4:

Passo 7

Agora, vamos calcular as inversas das potências de 1i = -i . Sabemos que multiplicar por é o mesmo que rotacionar no plano complexo, então:
Porque .

Passo 8

Para 1i^2 = 1-1 = -1 :

Passo 9

E para 1i^3 = 1-i = i :
Já que .

Resposta

Mostramos que as potências de seguem o padrão , , , , e assim por diante. Além disso, as inversas seguem , , , etc.

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