(Rotaçảo) A multiplicaçảo por i é geometricamente uma rotaçảo anti-horária de pi / 2(90^circ). Verifique isso fazendo o gráfico de z e i z e o ângulo de rotaçảo para z=2+2 i, z=-1-5 i, z= 4 - 3 i.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre como multiplicar um número complexo por faz uma rotação anti-horária de (ou 90°) no plano complexo. Para verificar isso, vamos analisar três números complexos diferentes: , e . Vamos precisar entender como os números complexos se representaram no plano e como a multiplicação por afeta essa representação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um número complexo pode ser representado no plano complexo como um ponto com coordenadas . Multiplicar por significa calcular . Vamos ver o que acontece com cada número dado quando fazemos essa multiplicação.

Passo 3

Para i cdot (2 + 2i) = 2i + 2i^2 = 2i + 2(-1) = -2 + 2i :
  1. Representando no plano complexo: o ponto é .
  2. Calculando : Então, .
  3. Representando no plano: o ponto é .
  4. Vamos calcular o ângulo de rotação entre e :
    • O vetor vai de a .
    • O vetor vai de a .
    • Visualmente, percebemos que o vetor girou 90° anti-horário.

Passo 4

Para i cdot (-1 -5i) = -i -5i^2 = -i -5(-1) = -i + 5 = 5 - i :
  1. Representando no plano complexo: o ponto é .
  2. Calculando : Então, .
  3. Representando no plano: o ponto é .
  4. Calculando o ângulo de rotação:
    • O vetor vai de a .
    • O vetor vai de a .
    • Visualmente, o vetor girou 90° anti-horário.

Passo 5

Para i cdot (4 - 3i) = 4i - 3i^2 = 4i - 3(-1) = 4i + 3 = 3 + 4i :
  1. Representando no plano complexo: o ponto é .
  2. Calculando : Então, .
  3. Representando no plano: o ponto é .
  4. Calculando o ângulo de rotação:
    • O vetor vai de a .
    • O vetor vai de a .
    • Visualmente, o vetor girou 90° anti-horário.

Resposta

Concluímos que, para todos os casos analisados, multiplicar um número complexo por resulta em uma rotação anti-horária de 90° no plano complexo. Isso confirma geometricamente que a multiplicação por corresponde a essa rotação.

Exercícios relacionados