(Rotaçảo) A multiplicaçảo por
é geometricamente uma rotaçảo anti-horária de
. Verifique isso fazendo o gráfico de
e
e o ângulo de rotaçảo para
4 -
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre como multiplicar um número complexo por
faz uma rotação anti-horária de
(ou 90°) no plano complexo. Para verificar isso, vamos analisar três números complexos diferentes:
,
e
. Vamos precisar entender como os números complexos se representaram no plano e como a multiplicação por
afeta essa representação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um número complexo
pode ser representado no plano complexo como um ponto com coordenadas
. Multiplicar
por
significa calcular
. Vamos ver o que acontece com cada número
dado quando fazemos essa multiplicação.
Passo 3
Para
:
- Representando
no plano complexo: o ponto é . - Calculando
: Então, . - Representando
no plano: o ponto é . - Vamos calcular o ângulo de rotação entre
e : - O vetor
vai de a . - O vetor
vai de a . - Visualmente, percebemos que o vetor girou 90° anti-horário.
- O vetor
Passo 4
Para
:
- Representando
no plano complexo: o ponto é . - Calculando
: Então, . - Representando
no plano: o ponto é . - Calculando o ângulo de rotação:
- O vetor
vai de a . - O vetor
vai de a . - Visualmente, o vetor girou 90° anti-horário.
- O vetor
Passo 5
Para
:
- Representando
no plano complexo: o ponto é . - Calculando
: Então, . - Representando
no plano: o ponto é . - Calculando o ângulo de rotação:
- O vetor
vai de a . - O vetor
vai de a . - Visualmente, o vetor girou 90° anti-horário.
- O vetor
Resposta
Concluímos que, para todos os casos analisados, multiplicar um número complexo
por
resulta em uma rotação anti-horária de 90° no plano complexo. Isso confirma geometricamente que a multiplicação por
corresponde a essa rotação.