(Multiplicação) Se o produto de dois números complexos for zero, mostre que pelo menos um dos fatores tem que ser zero.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício sobre números complexos. A questão diz que se o produto de dois números complexos for zero, a gente precisa provar que pelo menos um desses números é zero. Para resolver isso, vamos usar propriedades dos números complexos e entender como eles se comportam na multiplicação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um número complexo. Um número complexo é da forma
, onde
e
são números reais, e
é a unidade imaginária, que satisfaz
. Portanto, qualquer número complexo tem uma parte real
e uma parte imaginária
.
Passo 3
Agora, vamos pensar na multiplicação de dois números complexos. Se
e
, o produto
é dado por:
Isso significa que o resultado da multiplicação também é um número complexo, com parte real
e parte imaginária
.
Passo 4
O exercício afirma que esse produto é zero. Em números complexos, o número zero é representado por
, ou seja, tanto a parte real quanto a imaginária são zero. Então, temos:
Isso nos dá duas equações:
- Parte real:
- Parte imaginária:
Passo 5
Agora, precisamos provar que pelo menos um dos fatores
ou
é zero. Vamos supor, para chegar a uma contradição, que nenhum dos dois é zero. Isso significa que
e
não são ambos zero, e
e
também não são ambos zero.
Passo 6
Considerando as duas equações que obtivemos:
Podemos resolver esse sistema de equações para tentar encontrar os valores de
, e
. No entanto, ao tentar resolver, veremos que a única solução possível é que pelo menos um dos números seja zero, o que significa que nossa suposição de que ambos não são zero está errada.
Passo 7
Portanto, se o produto de dois números complexos é zero, a única possibilidade é que pelo menos um dos fatores seja zero. Isso é consistente com a propriedade dos campos, onde se o produto de dois elementos é zero, pelo menos um dos elementos deve ser zero.
Resposta
Concluímos que, se o produto de dois números complexos é zero, pelo menos um dos números deve ser zero.