(Multiplicação) Se o produto de dois números complexos for zero, mostre que pelo menos um dos fatores tem que ser zero.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício sobre números complexos. A questão diz que se o produto de dois números complexos for zero, a gente precisa provar que pelo menos um desses números é zero. Para resolver isso, vamos usar propriedades dos números complexos e entender como eles se comportam na multiplicação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um número complexo. Um número complexo é da forma , onde e são números reais, e é a unidade imaginária, que satisfaz . Portanto, qualquer número complexo tem uma parte real e uma parte imaginária .

Passo 3

Agora, vamos pensar na multiplicação de dois números complexos. Se z1 times z2 = (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i e , o produto é dado por:
Isso significa que o resultado da multiplicação também é um número complexo, com parte real e parte imaginária .

Passo 4

O exercício afirma que esse produto é zero. Em números complexos, o número zero é representado por (ac - bd) + (ad + bc)i = 0 + 0i , ou seja, tanto a parte real quanto a imaginária são zero. Então, temos:
Isso nos dá duas equações:
  1. Parte real:
  2. Parte imaginária:

Passo 5

Agora, precisamos provar que pelo menos um dos fatores ou é zero. Vamos supor, para chegar a uma contradição, que nenhum dos dois é zero. Isso significa que e não são ambos zero, e e também não são ambos zero.

Passo 6

Considerando as duas equações que obtivemos:
Podemos resolver esse sistema de equações para tentar encontrar os valores de , e . No entanto, ao tentar resolver, veremos que a única solução possível é que pelo menos um dos números seja zero, o que significa que nossa suposição de que ambos não são zero está errada.

Passo 7

Portanto, se o produto de dois números complexos é zero, a única possibilidade é que pelo menos um dos fatores seja zero. Isso é consistente com a propriedade dos campos, onde se o produto de dois elementos é zero, pelo menos um dos elementos deve ser zero.

Resposta

Concluímos que, se o produto de dois números complexos é zero, pelo menos um dos números deve ser zero.

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