Determine a equação reduzida, o foco, a diretriz, o vértice e faça um esboço do gráfico das seguintes parábolas:
Passo 1
Então, a gente tem uma equação de uma parábola que é
. Nosso objetivo é encontrar a equação reduzida dessa parábola, além de descobrir o foco, a diretriz, o vértice e fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos precisar lembrar como coloca a equação de uma parábola na forma padrão e identificar seus elementos principais.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação do vértice. Começamos isolando os termos com
e os demais termos:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado nos termos de
. Para completar o quadrado de
, pegamos o coeficiente de
, que é -2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 1 na equação:
Isso nos dá:
Passo 4
Vamos agora isolar o
. Adicionamos 1 aos dois lados da equação:
Em seguida, dividimos por 6:
Simplificando:
Passo 5
Agora, temos a equação na forma reduzida:
Essa forma nos mostra que a parábola é aberta para cima, com vértice no ponto
.
Passo 6
Para encontrar o foco e a diretriz, usamos as propriedades da parábola. A fórmula padrão para uma parábola que abre para cima é:
Onde
é o vértice e
determina a “abertura” da parábola. O foco está a uma distância
acima do vértice, e a diretriz é uma linha horizontal a mesma distância abaixo do vértice.
No nosso caso,
, então:
Passo 7
Calculando o foco:
Então, o foco está no ponto
.
Para a diretriz:
A diretriz é a linha
.
Passo 8
Por fim, para esboçar o gráfico, sabemos que a parábola tem vértice em
, abre para cima, com foco em
e diretriz em
. O gráfico será uma curva simétrica em relação à linha
, passando pelo foco e se aproximando da diretriz.
Resposta
A equação reduzida da parábola é
. O vértice está no ponto
, o foco é
, e a diretriz é a reta
. O gráfico da parábola é uma curva que abre para cima, simétrica em relação a
, passando pelo foco e aproximando-se da diretriz.