Determine a equação reduzida, o foco, a diretriz, o vértice e faça um esboço do gráfico das seguintes parábolas: x^2-2 x-6 y-8=0

Passo 1

Então, a gente tem uma equação de uma parábola que é . Nosso objetivo é encontrar a equação reduzida dessa parábola, além de descobrir o foco, a diretriz, o vértice e fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos precisar lembrar como coloca a equação de uma parábola na forma padrão e identificar seus elementos principais.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação do vértice. Começamos isolando os termos com x^2 - 2x = 6y + 8 e os demais termos:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado nos termos de (-22)^2 = 1 . Para completar o quadrado de x^2 - 2x + 1 - 1 = 6y + 8 , pegamos o coeficiente de (x - 1)^2 - 1 = 6y + 8 , que é -2, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 1 na equação:
Isso nos dá:

Passo 4

Vamos agora isolar o (x - 1)^2 = 6y + 9 . Adicionamos 1 aos dois lados da equação:
y = 16(x - 1)^2 - 96
Em seguida, dividimos por 6:
y = 16(x - 1)^2 - 32
Simplificando:

Passo 5

Agora, temos a equação na forma reduzida:
y = 16(x - 1)^2 - 32
Essa forma nos mostra que a parábola é aberta para cima, com vértice no ponto .

Passo 6

Para encontrar o foco e a diretriz, usamos as propriedades da parábola. A fórmula padrão para uma parábola que abre para cima é:
y = a(x - h)^2 + k
Onde 14a = 14 times 16 = 64 = 32 é o vértice e determina a “abertura” da parábola. O foco está a uma distância acima do vértice, e a diretriz é uma linha horizontal a mesma distância abaixo do vértice.
No nosso caso, , então:

Passo 7

Calculando o foco:
yfoco = k + 32 = -32 + 32 = 0
Então, o foco está no ponto ydiretriz = k - 32 = -32 - 32 = -3 .
Para a diretriz:
A diretriz é a linha .

Passo 8

Por fim, para esboçar o gráfico, sabemos que a parábola tem vértice em , abre para cima, com foco em e diretriz em . O gráfico será uma curva simétrica em relação à linha , passando pelo foco e se aproximando da diretriz.

Resposta

A equação reduzida da parábola é . O vértice está no ponto , o foco é , e a diretriz é a reta . O gráfico da parábola é uma curva que abre para cima, simétrica em relação a , passando pelo foco e aproximando-se da diretriz.

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