Determine a equação reduzida, se for o caso, o vértice, o foco, uma equação da diretriz e uma equação do eixo da prábola (se for o caso) dada por:
a) 2 y^2-9 x=0
b) x^2-2 x-20 y-39=0
c) y^2+4 y+16 x-44=0
d) y^2-12 x-y+14=0

Passo 1

O enunciado fornece quatro equações do segundo grau em que aparece apenas um termo quadrático, indicando que todas são parábolas. Para cada uma, vamos completar o quadrado (quando for o caso) e reescrever na forma reduzida do tipo
(y-k)^2 = 4p,(x-h) ou (x-h)^2 = 4p,(y-k),
identificando então o vértice (h,k), o parâmetro focal p, o foco, a directriz e o eixo de simetria.

Passo 2

Para a)
2y^2 - 9x = 0
isola-se y^2:
y^2 = 92,x
Comparando com y^2 = 4p,x temos
4p = 92, p = 98
Logo o vértice é (0,0), o foco é l(tfrac98,0r), a directriz é
x = -98
e o eixo de simetria é
y = 0

Passo 3

Para b)
x^2 - 2x - 20y - 39 = 0
passa-se 20y +39 para o outro lado:
x^2 - 2x = 20y +39
Completa-se o quadrado em x:
(x-1)^2 -1 = 20y +39 Longrightarrow (x-1)^2 = 20,(y+2)
Aqui 4p=20, logo p=5. O vértice é (1,-2), o foco é (1,-2+5)=(1,3), a directriz é
y = -2 - 5 = -7
e o eixo de simetria é
x = 1

Passo 4

Para c)
y^2 + 4y + 16x - 44 = 0
isola-se 16x-44:
y^2 + 4y = -16x +44
Completa-se o quadrado em y:
(y+2)^2 -4 = -16x +44 Longrightarrow (y+2)^2 = -16,(x-3)
Aqui 4p=-16, logo p=-4. O vértice é (3,-2), o foco é (3-4,-2)=(-1,-2), a directriz é
x = 3 + 4 = 7
e o eixo de simetria é
y = -2

Passo 5

Para d)
y^2 - y - 12x + 14 = 0
passa-se 12x-14 para o outro lado:
y^2 - y = 12x - 14
Completa-se o quadrado em y:
l(y-tfrac12r)^2 - tfrac14 = 12x -14 Longrightarrow l(y-tfrac12r)^2 = 12x - tfrac554 Longrightarrow l(y-tfrac12r)^2 = 12l(x - tfrac5548r)
Aqui 4p=12, logo p=3. O vértice é l(tfrac5548,tfrac12r), o foco é l(tfrac5548+3,tfrac12r)=l(tfrac19948,tfrac12r), a directriz é
x = tfrac5548 - 3 = -tfrac8948
e o eixo de simetria é
y = tfrac12

Resposta

a) Forma reduzida:
y^2 = 92,x
Vértice (0,0), foco l(tfrac98,0r), directriz x=-tfrac98, eixo y=0.
b) Forma reduzida:
(x-1)^2 = 20,(y+2)
Vértice (1,-2), foco (1,3), directriz y=-7, eixo x=1.
c) Forma reduzida:
(y+2)^2 = -16,(x-3)
Vértice (3,-2), foco (-1,-2), directriz x=7, eixo y=-2.
d) Forma reduzida:
l(y-tfrac12r)^2 = 12l(x - tfrac5548r)
Vértice l(tfrac5548,tfrac12r), foco l(tfrac19948,tfrac12r), directriz x=-tfrac8948, eixo y=tfrac12.

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