Determine as equações reduzidas, se for o caso, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e as equações das assíntotas das hipérboles dadas:
x^2-4 y^2-54 x+8 y+113=0

Passo 1

O enunciado dá a cônica
x^2-4y^2-54x+8y+113=0
e pede que a gente escreva a equação na forma reduzida de uma hipérbole, além de identificar centro, vértices, focos, excentricidade e assíntotas. Para isso, vamos completar quadrados nos termos de x e y.

Passo 2

Agrupando e completando quadrado em x e em y:
x^2-54x ;=;(x-27)^2-27^2=(x-27)^2-729,
-4l(y^2-2yr);=;-4l[(y-1)^2-1r];=;-4(y-1)^2+4
Substituindo na equação original:
(x-27)^2-729 ;-;4(y-1)^2+4 ;+;113 ;=;0 ;;Longrightarrow;; (x-27)^2-4(y-1)^2-612=0

Passo 3

Isolando para ficar igual a 1:
(x-27)^2-4(y-1)^2=612 Longrightarrow (x-27)^2612-(y-1)^2153=1

Passo 4

Dessa forma temos
a^2=612, b^2=153,
logo
a=6raiz17, b=3raiz17,
e o centro
(h,k)=(27,1)

Passo 5

O parâmetro c dos focos satisfaz
c^2=a^2+b^2=612+153=765,
então
c=3raiz85 e e=ca=3raiz856raiz17=raiz52

Passo 6

Como a hipérbole é de ramo horizontal, os vértices e focos são
Vértices: l(27pm6raiz17,,1r), Focos: l(27pm3raiz85,,1r) é

Passo 7

As assíntotas, com declive pm,tfracba=pmtfrac12, passam pelo centro (27,1):
y-1 = tfrac12,(x-27), y-1 = -tfrac12,(x-27)

Resposta

Equação reduzida:
(x-27)^2612-(y-1)^2153=1
Centro: (27,1)
Vértices: l(27pm6raiz17,,1r)
Focos: l(27pm3raiz85,,1r)
Excentricidade: tfracraiz52
Assíntotas:
y-1=12(x-27), y-1=-12(x-27)

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