Identifique a quádrica e faça um esboço de seu gráfico:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação quadrática em três variáveis:
. O objetivo aqui é identificar que tipo de superfície quadrática essa equação representa e fazer um esboço do gráfico dela.
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre as superfícies quadráticas na matemática, que são figuras tridimensionais definidas por equações do segundo grau em três variáveis. Dependendo dos coeficientes e dos sinais na equação, podemos ter diferentes tipos de superfícies, como elipsoides, hiperboloides, paraboloides, entre outros.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação:
Pode ser útil escrever a equação de uma forma que destaque os termos positivos e negativos:
Passo 3
Agora, vamos comparar essa equação com as formas padrão das superfícies quadráticas. Uma das formas que se encaixa aqui é a do hiperbolo de uma folha, que tem a seguinte forma geral:
Percebe como temos dois termos positivos e um negativo? Isso já nos dá uma dica de que estamos lidando com um hiperbolo.
Passo 4
Vamos identificar os valores de
,
e
na nossa equação:
Comparando com a forma padrão:
Podemos ver que:
Então:
Passo 5
Com esses valores, sabemos que os eixos principais do hiperbolo estão alinhados com os eixos
e
, e o eixo
é o que está subtraído. Isso significa que o hiperbolo se abre ao longo do eixo
.
Para esboçar o gráfico, a gente pode considerar cortes no plano
,
e
para visualizar melhor a forma da superfície.
Passo 6
Corte no plano
:
Esse é um elipsóide, que nos mostra a “base” do hiperbolo.
Corte no plano
:
Esse é um hiperbolo, indicando como a superfície se expande ao longo do eixo
.
Corte no plano
:
Outro hiperbolo, reforçando a ideia de abertura ao longo do eixo
.
Resposta
A equação
representa um hiperbolo de uma folha que se abre ao longo do eixo
. O esboço do gráfico mostraria essa superfície expandindo-se nos eixos
e
, formando uma forma semelhante a um assobio alongado na direção de
.