Esboce o gráfico das hipérboles, traçando as assíntotas:
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da hipérbole e traçar as assíntotas da equação dada. A equação fornecida é:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação explícita da curva é
. - O pedido é: identificar a forma canônica, localizar centro e vértices, achar as assíntotas e indicar como esboçar (ramos) da hipérbole.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma hipérbole ajuda muito para identificar elementos. Começo dividindo ambos os lados por
:
ou, reorganizando termos,
Explicando devagar: a ideia é escrever a equação como uma diferença de frações igual a
, padrão para hipérboles. Aqui obtivemos a forma
onde, comparando, temos
e
. Então
Passo 3
Interpretando a forma padrão e o que ela nos diz sobre a hipérbole:
- Centro: a equação está centrada na origem, logo o centro é
. - Como o termo positivo é o de
, a hipérbole tem o eixo transverso na direção vertical: os ramos abrem para cima e para baixo. - Vértices: ficam no eixo
a uma distância do centro, portanto os vértices são
- Um retângulo auxiliar que ajuda no esboço tem semi-eixos
na horizontal e na vertical; seus cantos são . As diagonais desse retângulo dão as assíntotas.
Passo 4
Encontrar as assíntotas de forma direta a partir da forma padrão. Para a hipérbole
as assíntotas são obtidas anulando o termo
, ou seja resolvendo
Tomando raízes (e lembrando os sinais), obtemos as linhas
Substituindo
e
dá
Essas são as assíntotas retas pelas quais os ramos da hipérbole se aproximam quando
ou
.
Passo 5
Verificação e comportamento para grandes
(intuição): podemos resolver a equação para
:
Para
grande,
domina, e
o que confirma que as retas
são mesmo as assíntotas. Para pontos concretos úteis no esboço:
(vértices);
;
. Esses pontos mostram os ramos se afastando verticalmente e se aproximando das linhas inclinadas.
Passo 6
Como esboçar passo a passo (pra fazer na prova à mão):
- Desenhe os eixos
e com origem em . - Marque o centro
. - Marque os vértices
e . - Desenhe o retângulo auxiliar com semi-eixo horizontal
e vertical ; isto é, marque os pontos e trace o retângulo de canto a canto. - Trace as diagonais desse retângulo; essas diagonais são as assíntotas
. - Finalmente, desenhe os dois ramos da hipérbole abrindo para cima e para baixo passando pelos vértices e se aproximando das assíntotas à medida que se afastam da origem. Use os pontos calculados (por exemplo
) para orientar a curvatura.
Resposta
Centro:
Vértices: e
Forma canônica:
Assíntotas:
Vértices:
Forma canônica:
Assíntotas: