Esboce o gráfico das hipérboles, traçando as assíntotas:
-x^{2}+9 y^{2}=36

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da hipérbole e traçar as assíntotas da equação dada. A equação fornecida é:
- x^{2} + 9y^{2} = 36.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação explícita da curva é -x^{2}+9y^{2}=36.
  • O pedido é: identificar a forma canônica, localizar centro e vértices, achar as assíntotas e indicar como esboçar (ramos) da hipérbole.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma hipérbole ajuda muito para identificar elementos. Começo dividindo ambos os lados por 36:
\frac{-x^{2}}{36} + \frac{9y^{2}}{36} = 1
ou, reorganizando termos,
\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{36} = 1.
Explicando devagar: a ideia é escrever a equação como uma diferença de frações igual a 1, padrão para hipérboles. Aqui obtivemos a forma
\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1,
onde, comparando, temos \;a^{2}=4 e \;b^{2}=36. Então
a=2,\qquad b=6.

Passo 3

Interpretando a forma padrão e o que ela nos diz sobre a hipérbole:
  • Centro: a equação está centrada na origem, logo o centro é (0,0).
  • Como o termo positivo é o de y^{2}, a hipérbole tem o eixo transverso na direção vertical: os ramos abrem para cima e para baixo.
  • Vértices: ficam no eixo y a uma distância a do centro, portanto os vértices são
(0,\pm a) = (0,\pm 2).
  • Um retângulo auxiliar que ajuda no esboço tem semi-eixos b na horizontal e a na vertical; seus cantos são (\pm b,\pm a)=(\pm 6,\pm 2). As diagonais desse retângulo dão as assíntotas.

Passo 4

Encontrar as assíntotas de forma direta a partir da forma padrão. Para a hipérbole
\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1,
as assíntotas são obtidas anulando o termo 1, ou seja resolvendo
\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{y^{2}}{a^{2}} = \frac{x^{2}}{b^{2}}.
Tomando raízes (e lembrando os sinais), obtemos as linhas
y = \pm \frac{a}{b}\,x.
Substituindo a=2 e b=6
y = \pm \frac{2}{6}x = \pm \frac{1}{3}x.
Essas são as assíntotas retas pelas quais os ramos da hipérbole se aproximam quando |x|\to\infty ou |y|\to\infty.

Passo 5

Verificação e comportamento para grandes x (intuição): podemos resolver a equação para y:
9y^{2} = x^{2} + 36 \quad\Rightarrow\quad y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{9} + 4}.
Para |x| grande, \dfrac{x^{2}}{9} domina, e
y \approx \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{9}} = \pm \frac{|x|}{3},
o que confirma que as retas y=\pm \dfrac{1}{3}x são mesmo as assíntotas. Para pontos concretos úteis no esboço: x=0\Rightarrow y=\pm2 (vértices); x=3\Rightarrow y=\pm\sqrt{5}\approx\pm2{,}24; x=6\Rightarrow y=\pm2\sqrt{2}\approx\pm2{,}83. Esses pontos mostram os ramos se afastando verticalmente e se aproximando das linhas inclinadas.

Passo 6

Como esboçar passo a passo (pra fazer na prova à mão):
  1. Desenhe os eixos x e y com origem em (0,0).
  2. Marque o centro (0,0).
  3. Marque os vértices (0,2) e (0,-2).
  4. Desenhe o retângulo auxiliar com semi-eixo horizontal b=6 e vertical a=2; isto é, marque os pontos (\pm6,\pm2) e trace o retângulo de canto a canto.
  5. Trace as diagonais desse retângulo; essas diagonais são as assíntotas y=\pm \dfrac{1}{3}x.
  6. Finalmente, desenhe os dois ramos da hipérbole abrindo para cima e para baixo passando pelos vértices e se aproximando das assíntotas à medida que se afastam da origem. Use os pontos calculados (por exemplo x=0,3,6) para orientar a curvatura.

Resposta

Centro: (0,0)
Vértices: (0,2) e (0,-2)
Forma canônica: \dfrac{y^{2}}{4}-\dfrac{x^{2}}{36}=1
Assíntotas: y=\pm \dfrac{1}{3}x

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