Determine a equação reduzida da hipérbole, satisfazendo a propriedade dada:
Centro ( 0,0 ), eixo real horizontal de comprimento 8 e eixo imaginário de comprimento 6 .
Centro ( 0,0 ), eixo real horizontal de comprimento 8 e eixo imaginário de comprimento 6 .
Passo 1
O enunciado pede a equação reduzida da hipérbole e fornece os dados abaixo:
- Centro:
. - Eixo real (transverso) horizontal de comprimento
. - Eixo imaginário (conjugado) de comprimento
.
A pergunta é: determinar a equação reduzida da hipérbole que satisfaz essas condições.
Passo 2
Vamos entender o que significa “equação reduzida” para uma hipérbole centrada na origem com eixo transverso horizontal. A forma padrão (reduzida) é:
Explicando cada símbolo:
-
é o semi-eixo real (metade do comprimento do eixo real). Ou seja, o eixo real total tem comprimento . -
é o semi-eixo imaginário (metade do comprimento do eixo imaginário). Ou seja, o eixo imaginário total tem comprimento .
Essa forma vale quando o centro está eme o eixo transverso é horizontal (como é o caso).
Passo 3
Usar os comprimentos fornecidos para achar
e
.
- O eixo real tem comprimento
. Portanto
- O eixo imaginário tem comprimento
. Portanto
Passo 4
Substituir
e
na forma padrão:
com
e
dá
Simplificando os quadrados:
Passo 5
Comentário final prático (útil para a prova): com esses
e
,
- Vértices (pontos do eixo real) são
. - Co-vértices (pontos do eixo imaginário) são
. - As focais ficam em
com dado por . Aqui , logo e as focais são .
Isso ajuda a verificar geometria e conferir resposta rapidamente.