Determine a equação reduzida da hipérbole, satisfazendo a propriedade dada:
Centro ( 0,0 ), eixo real horizontal de comprimento 8 e eixo imaginário de comprimento 6 .

Passo 1

O enunciado pede a equação reduzida da hipérbole e fornece os dados abaixo:
  • Centro: (0,0).
  • Eixo real (transverso) horizontal de comprimento 8.
  • Eixo imaginário (conjugado) de comprimento 6.
A pergunta é: determinar a equação reduzida da hipérbole que satisfaz essas condições.

Passo 2

Vamos entender o que significa “equação reduzida” para uma hipérbole centrada na origem com eixo transverso horizontal. A forma padrão (reduzida) é:
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1.
Explicando cada símbolo:
  • a é o semi-eixo real (metade do comprimento do eixo real). Ou seja, o eixo real total tem comprimento 2a.
  • b é o semi-eixo imaginário (metade do comprimento do eixo imaginário). Ou seja, o eixo imaginário total tem comprimento 2b.
    Essa forma vale quando o centro está em (0,0) e o eixo transverso é horizontal (como é o caso).

Passo 3

Usar os comprimentos fornecidos para achar a e b.
  • O eixo real tem comprimento 8. Portanto
2a=8 \quad\Rightarrow\quad a=\frac{8}{2}=4.
  • O eixo imaginário tem comprimento 6. Portanto
2b=6 \quad\Rightarrow\quad b=\frac{6}{2}=3.

Passo 4

Substituir a e b na forma padrão:
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1
com a=4 e b=3
\frac{x^{2}}{4^{2}}-\frac{y^{2}}{3^{2}}=1.
Simplificando os quadrados:
\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1.

Passo 5

Comentário final prático (útil para a prova): com esses a e b,
  • Vértices (pontos do eixo real) são (\pm a,0)=(\pm4,0).
  • Co-vértices (pontos do eixo imaginário) são (0,\pm b)=(0,\pm3).
  • As focais ficam em (\pm c,0) com c dado por c^{2}=a^{2}+b^{2}. Aqui c^{2}=16+9=25, logo c=5 e as focais são (\pm5,0).
    Isso ajuda a verificar geometria e conferir resposta rapidamente.

Resposta

\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1

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