Esboce o gráfico das hipérboles, traçando as assíntotas:
Passo 1
O enunciado pede: esboçar o gráfico da hipérbole e traçar as assíntotas da curva dada pela equação
Informações fornecidas:
- A equação explícita da curva é
. - Deve-se obter o esboço (posição, abertura, vértices, etc.) e, em particular, as assíntotas.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma hipérbole deslocada. Para isso dividimos ambos os lados por
:
Simplificando as frações:
Esta é a forma padrão
com
,
,
,
.
Breve lembrete didático: a forma padrão mostra que a hipérbole está centrada em
. Quando o termo positivo é o de
a hipérbole abre para a esquerda e para a direita (eixo transverso horizontal). Os parâmetros
e
controlam o “tamanho” dos ramos.
Passo 3
Identificar os parâmetros numéricos importantes:
O centro é
.
Interpretação:
é a distância do centro até cada vértice ao longo do eixo transverso;
serve para construir o “retângulo auxiliar” cujas diagonais dão as assíntotas.
Passo 4
Determinar os vértices (pontos onde a hipérbole corta o eixo transverso). Para hipérbole na forma
os vértices são
. Assim:
Passo 5
Determinar os focos. Para hipérboles vale
. Calcula-se:
Os focos são
, logo:
Explicação curta: os focos ficam no mesmo eixo dos vértices; são pontos usados na definição geométrica da hipérbole (diferença das distâncias aos focos é constante).
Passo 6
Achar as assíntotas. Para a forma
as assíntotas são as retas
Aqui
. Portanto:
Opcionalmente escrevendo em forma explícita:
Didática prática: para desenhar as assíntotas sem cálculo basta construir o retângulo central de semi-eixos
e
(largura
, altura
) centrado em
; as diagonais desse retângulo têm as equações das assíntotas.
Passo 7
Como esboçar passo a passo (dicas para a prova, mão na massa):
- Marque o centro
. - Marque os vértices
e . - Desenhe o retângulo auxiliar com cantos em
, isto é, cantos em . - Trace as diagonais desse retângulo; são as assíntotas
. - Desenhe os dois ramos da hipérbole abrindo para direita e esquerda passando pelos vértices e aproximando-se das assíntotas à medida que
. - Se quiser um ponto adicional para orientar a curvatura, escolha
com (por exemplo ) e calcule por
para obter coordenadas reais; isso confirma a posição dos ramos.
Passo 8
Resumo rápido dos elementos que devem aparecer no esboço final: centro
, vértices
e
, focos
e
, retângulo auxiliar com semi-eixos
,
, e as assíntotas
. Desenhe os ramos horizontais aproximando-se dessas retas.
Resposta
Centro:
Vértices:
Focos:
Assíntotas: