Esboce o gráfico das hipérboles, traçando as assíntotas:
16(x-3)^{2}-9(y-2)^{2}=144

Passo 1

O enunciado pede: esboçar o gráfico da hipérbole e traçar as assíntotas da curva dada pela equação
16(x-3)^{2}-9(y-2)^{2}=144.
Informações fornecidas:
  • A equação explícita da curva é \;16(x-3)^{2}-9(y-2)^{2}=144.
  • Deve-se obter o esboço (posição, abertura, vértices, etc.) e, em particular, as assíntotas.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma hipérbole deslocada. Para isso dividimos ambos os lados por 144:
\frac{16(x-3)^{2}}{144}-\frac{9(y-2)^{2}}{144}=1.
Simplificando as frações:
\frac{(x-3)^{2}}{9}-\frac{(y-2)^{2}}{16}=1.
Esta é a forma padrão \displaystyle \frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1 com h=3, k=2, a^{2}=9, b^{2}=16.
Breve lembrete didático: a forma padrão mostra que a hipérbole está centrada em (h,k). Quando o termo positivo é o de (x-h)^{2} a hipérbole abre para a esquerda e para a direita (eixo transverso horizontal). Os parâmetros a e b controlam o “tamanho” dos ramos.

Passo 3

Identificar os parâmetros numéricos importantes:
a=\sqrt{9}=3,\qquad b=\sqrt{16}=4.
O centro é \,(h,k)=(3,2).
Interpretação: a é a distância do centro até cada vértice ao longo do eixo transverso; b serve para construir o “retângulo auxiliar” cujas diagonais dão as assíntotas.

Passo 4

Determinar os vértices (pontos onde a hipérbole corta o eixo transverso). Para hipérbole na forma \dfrac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1 os vértices são (h\pm a,k). Assim:
\text{vértices: }(3+3,\,2)=(6,2)\quad\text{e}\quad(3-3,\,2)=(0,2).é

Passo 5

Determinar os focos. Para hipérboles vale \;c^{2}=a^{2}+b^{2}. Calcula-se:
c^{2}=9+16=25\quad\Rightarrow\quad c=5.
Os focos são (h\pm c,k), logo:
\text{focos: }(3+5,\,2)=(8,2)\quad\text{e}\quad(3-5,\,2)=(-2,2).
Explicação curta: os focos ficam no mesmo eixo dos vértices; são pontos usados na definição geométrica da hipérbole (diferença das distâncias aos focos é constante).

Passo 6

Achar as assíntotas. Para a forma \dfrac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1 as assíntotas são as retas
y-k=\pm\frac{b}{a}(x-h).
Aqui \dfrac{b}{a}=\dfrac{4}{3}. Portanto:
y-2=\pm\frac{4}{3}(x-3).
Opcionalmente escrevendo em forma explícita:
y=\frac{4}{3}x-2 \qquad\text{e}\qquad y=-\frac{4}{3}x+6.
Didática prática: para desenhar as assíntotas sem cálculo basta construir o retângulo central de semi-eixos a e b (largura 2a, altura 2b) centrado em (3,2); as diagonais desse retângulo têm as equações das assíntotas.

Passo 7

Como esboçar passo a passo (dicas para a prova, mão na massa):
  1. Marque o centro (3,2).
  2. Marque os vértices (6,2) e (0,2).
  3. Desenhe o retângulo auxiliar com cantos em (3\pm a,\,2\pm b), isto é, cantos em (6,6),(6,-2),(0,6),(0,-2).
  4. Trace as diagonais desse retângulo; são as assíntotas \;y-2=\pm\frac{4}{3}(x-3).
  5. Desenhe os dois ramos da hipérbole abrindo para direita e esquerda passando pelos vértices e aproximando-se das assíntotas à medida que x\to\pm\infty.
  6. Se quiser um ponto adicional para orientar a curvatura, escolha x com |x-3|>3 (por exemplo x=8) e calcule y por
\frac{(x-3)^{2}}{9}-\frac{(y-2)^{2}}{16}=1
para obter coordenadas reais; isso confirma a posição dos ramos.

Passo 8

Resumo rápido dos elementos que devem aparecer no esboço final: centro (3,2), vértices (6,2) e (0,2), focos (8,2) e (-2,2), retângulo auxiliar com semi-eixos a=3, b=4, e as assíntotas \;y-2=\pm\frac{4}{3}(x-3). Desenhe os ramos horizontais aproximando-se dessas retas.

Resposta

\displaystyle \frac{(x-3)^{2}}{9}-\frac{(y-2)^{2}}{16}=1\n
Centro: (3,2)\n
Vértices: (6,2) e (0,2)\n
Focos: (8,2) e (-2,2)\n
Assíntotas: \;y-2=\pm\frac{4}{3}(x-3) (equivalente a y=\frac{4}{3}x-2 e y=-\frac{4}{3}x+6)

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