Esboce o gráfico das hipérboles, traçando as assíntotas:
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede que eu esboce o gráfico da hipérbole e trace as assíntotas.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A equação explícita da curva é
. - A tarefa: obter a forma padrão da hipérbole, identificar elementos (centro, vértices, focos, etc.) e escrever as equações das assíntotas para poder esboçar o gráfico.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma hipérbole facilita a leitura dos parâmetros. Divido ambos os lados por
:
Simplificando os coeficientes:
Esta é a forma padrão
deslocada: o centro é
, com
e
.
Passo 3
Interpretação dos parâmetros (explicando o que cada coisa significa):
- Centro:
. Esse é o ponto em torno do qual a hipérbole está deslocada. -
e . O parâmetro mede a “semi-distância” do centro até cada vértice ao longo do eixo transverse (aqui o eixo transverse é horizontal porque o termo positivo é o de ). -
e . O parâmetro mede a semi-altura da “caixa retangular” usada no esboço (mais abaixo explico como usar isso). - Como a forma é
, a hipérbole tem duas ramas que se abrem para a esquerda e para a direita (eixo transverse horizontal).
Passo 4
Calcular os vértices (pontos mais próximos ao centro sobre as ramos):
- Os vértices ficam a uma distância
do centro ao longo do eixo , isto é
Logo os vértices são
e
.
Passo 5
Calcular os focos (úteis para entender a forma e posição das ramas). Para hipérbole horizontal vale
Substituindo
e
:
Os focos ficam em
.
Passo 6
Derivar as equações das assíntotas (a parte-chave pedida). Para a hipérbole padrão centrada na origem
quando
são grandes a constante
fica desprezível e a curva aproxima-se de
o que dá as retas
Para a hipérbole deslocada com centro
a mesma ideia leva a assíntotas passando pelo centro:
No nosso caso
,
,
,
. Portanto as assíntotas são
Passo 7
Como montar o esboço passo a passo (manual, sem calculadora):
- Marcar o centro em
. - Marcar os vértices em
e . - Marcar os pontos do eixo conjugado (usados para construir o retângulo auxiliar):
ou seja e . - Construir o retângulo com centro
, semi-eixos horizontal e vertical. Os cantos desse retângulo são
- Traçar as diagonais desse retângulo: elas são exatamente as assíntotas
. - Desenhar as duas ramas da hipérbole abrindo para esquerda e direita, passando pelos vértices
e e aproximando-se das assíntotas quando se afasta do centro. Uma dica visual: a curva corta a linha no vértice e para maiores vai subir e descer seguindo as direções das assíntotas.
Passo 8
Exemplos de pontos para ajudar no esboço (opcional, para traçar com mais precisão):
- Para
(ou seja ):
Esses pontos
e
mostram a curva afastando-se do vértice e aproximando-se das retas assíntotas.
Resposta
Centro:
Vértices: e
Focos:
Assíntotas:
Vértices:
Focos:
Assíntotas: