Esboce o gráfico das hipérboles, traçando as assíntotas:
9(x+2)^{2}-4(y-3)^{2}=36

Passo 1

O enunciado dá a equação
9(x+2)^{2}-4(y-3)^{2}=36
e pede que eu esboce o gráfico da hipérbole e trace as assíntotas.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação explícita da curva é \;9(x+2)^{2}-4(y-3)^{2}=36\;.
  • A tarefa: obter a forma padrão da hipérbole, identificar elementos (centro, vértices, focos, etc.) e escrever as equações das assíntotas para poder esboçar o gráfico.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma hipérbole facilita a leitura dos parâmetros. Divido ambos os lados por 36:
\frac{9(x+2)^{2}}{36}-\frac{4(y-3)^{2}}{36}=1.
Simplificando os coeficientes:
\frac{(x+2)^{2}}{4}-\frac{(y-3)^{2}}{9}=1.
Esta é a forma padrão \dfrac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1 deslocada: o centro é (h,k)=(-2,3), com a^{2}=4 e b^{2}=9.

Passo 3

Interpretação dos parâmetros (explicando o que cada coisa significa):
  • Centro: (h,k)=(-2,3). Esse é o ponto em torno do qual a hipérbole está deslocada.
  • a^{2}=4 e a=\sqrt{4}=2. O parâmetro a mede a “semi-distância” do centro até cada vértice ao longo do eixo transverse (aqui o eixo transverse é horizontal porque o termo positivo é o de x).
  • b^{2}=9 e b=\sqrt{9}=3. O parâmetro b mede a semi-altura da “caixa retangular” usada no esboço (mais abaixo explico como usar isso).
  • Como a forma é \dfrac{(x+2)^{2}}{a^{2}}-\dfrac{(y-3)^{2}}{b^{2}}=1, a hipérbole tem duas ramas que se abrem para a esquerda e para a direita (eixo transverse horizontal).

Passo 4

Calcular os vértices (pontos mais próximos ao centro sobre as ramos):
  • Os vértices ficam a uma distância a do centro ao longo do eixo x, isto é
\text{vértices: }(h\pm a,\,k)=(-2\pm2,\,3).é
Logo os vértices são (-4,3) e (0,3).

Passo 5

Calcular os focos (úteis para entender a forma e posição das ramas). Para hipérbole horizontal vale
c^{2}=a^{2}+b^{2}.
Substituindo a^{2}=4 e b^{2}=9:
c^{2}=4+9=13,\qquad c=\sqrt{13}.
Os focos ficam em (h\pm c,\,k)=(-2\pm\sqrt{13},\,3).

Passo 6

Derivar as equações das assíntotas (a parte-chave pedida). Para a hipérbole padrão centrada na origem
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,
quando x,y são grandes a constante 1 fica desprezível e a curva aproxima-se de
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=0\quad\Rightarrow\quad \frac{y^{2}}{b^{2}}=\frac{x^{2}}{a^{2}}
o que dá as retas
y=\pm\frac{b}{a}x.
Para a hipérbole deslocada com centro (h,k) a mesma ideia leva a assíntotas passando pelo centro:
y-k=\pm\frac{b}{a}(x-h).
No nosso caso h=-2, k=3, b=3, a=2. Portanto as assíntotas são
y-3=\pm\frac{3}{2}(x+2).

Passo 7

Como montar o esboço passo a passo (manual, sem calculadora):
  1. Marcar o centro em (-2,3).
  2. Marcar os vértices em (-4,3) e (0,3).
  3. Marcar os pontos do eixo conjugado (usados para construir o retângulo auxiliar): (h,\,k\pm b)=(-2,\,3\pm3) ou seja (-2,0) e (-2,6).
  4. Construir o retângulo com centro (-2,3), semi-eixos a=2 horizontal e b=3 vertical. Os cantos desse retângulo são
(-4,0),\;(-4,6),\;(0,0),\;(0,6).
  1. Traçar as diagonais desse retângulo: elas são exatamente as assíntotas y-3=\pm\frac{3}{2}(x+2).
  2. Desenhar as duas ramas da hipérbole abrindo para esquerda e direita, passando pelos vértices (-4,3) e (0,3) e aproximando-se das assíntotas quando se afasta do centro. Uma dica visual: a curva corta a linha x=0 no vértice (0,3) e para x maiores vai subir e descer seguindo as direções das assíntotas.

Passo 8

Exemplos de pontos para ajudar no esboço (opcional, para traçar com mais precisão):
  • Para x=1 (ou seja x+2=3):
\frac{3^{2}}{4}-\frac{(y-3)^{2}}{9}=1\quad\Rightarrow\quad \frac{9}{4}-1=\frac{(y-3)^{2}}{9}
\frac{5}{4}=\frac{(y-3)^{2}}{9}\quad\Rightarrow\quad (y-3)^{2}= \frac{45}{4}=11{,}25
y-3=\pm\sqrt{11{,}25}\approx\pm3{,}354\quad\Rightarrow\quad y\approx 6{,}354\text{ ou }-0{,}354.
Esses pontos (1,6{,}354) e (1,-0{,}354) mostram a curva afastando-se do vértice e aproximando-se das retas assíntotas.

Resposta

Centro: (-2,3)
Vértices: (-4,3) e (0,3)
Focos: (-2\pm\sqrt{13},\,3)
Assíntotas: y-3=\pm\dfrac{3}{2}(x+2)

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