Determine a equação reduzida do plano que contém o ponto (-1,2,-3) e é perpendicular a reta r: 2-x2=2 y+12 ; z=1
a. -2 x+y+z=1
b. 2 x-y=-4
C. -2 x+y=-4

Passo 1

O enunciado pede a equação reduzida de um plano que passa por P(-1,2,-3) e é perpendicular à reta r. O conteúdo aqui é usar o fato de que, se um plano é perpendicular a uma reta, o vetor diretor dessa reta é um vetor normal ao plano.

Passo 2

Vamos extrair o vetor diretor de r a partir das equações simétricas
2 - x2 ;=;2y + 12, z = 1
Chame esse valor comum de t. Então
2 - x = 2tRightarrow x = 2 - 2t,
2y + 1 = 2tRightarrow y = tfrac2t - 12 = t - tfrac12,
e z = 1 é constante. Assim um vetor diretor de r é
vec d = (-2,,1,,0)

Passo 3

Como vec d é normal ao plano, usamos a forma ponto-normal do plano:
vec n = (-2,,1,,0), P0 = (-1,2,-3)
A equação do plano é
vec ncdotl((x,y,z)-P0r)=0 Longrightarrow -2(x+1)+1(y-2)+0,(z+3)=0
-2x -2 + y -2 = 0 Longrightarrow -2x + y -4 = 0 Longrightarrow -2x + y = 4
Multiplicando por -1 fica
2x - y = -4

Passo 4

Comparando com as alternativas, a que coincide com 2x - y = -4 é a letra (b).

Resposta

(b) 2x - y = -4

Exercícios relacionados