Questão 3
Verifique a alternativa verdadeira em relação a posição entre as retas r:-1-x=y+14=z-1 e s:cx=1-3 t y=1+2 t z=1+t
a) São paralelas
b) São concorrentes e interceptam em (-2, 3, 2)
C) São reversas

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço:
r em forma simétrica
-1 - x ;=;y+14;=;z-1
e s em forma paramétrica
x = 1 - 3t y = 1 + 2t z = 1 + t
O conteúdo envolvido é posição de retas: extração de vetores diretores, comparação de paralelismo e verificação de interseção.

Passo 2

Extraímos o vetor diretor de cada reta.
Para r, chamo o parâmetro comum de -1 - x = lambda. Então
x = -1 - lambda, y = -1 + 4lambda, z = 1 + lambda
Logo o vetor diretor de r é
vr = (-1,;4,;1)
Para s, lemos diretamente
vs = (-3,;2,;1)

Passo 3

Verificamos se são paralelas: isso aconteceria se um vetor diretor fosse múltiplo escalar do outro, ou seja, se existisse alpha tal que
(-3,2,1) = alpha,(-1,4,1)
Comparando componentes, teríamos -3 = -alpha, 2 = 4alpha e 1 = alpha. Daqui alpha=1 pela terceira equação, mas isso daria 2=4, absurdo. Logo não são paralelas.

Passo 4

Como não são paralelas, tentamos achar um ponto comum. Igualamos as equações de r e s:
(-1-lambda,,-1+4lambda,,1+lambda) = (1-3t,;1+2t,;1+t)
Isso gera o sistema
-1 - lambda = 1 - 3t, -1 + 4lambda = 1 + 2t, 1 + lambda = 1 + t

Passo 5

Da terceira equação vem lambda = t. Substituindo em
-1 - t = 1 - 3t leva a 2t = 2 e t = 1. Então lambda = 1. Checamos na segunda equação:
-1 + 4cdot1 = 3 e 1 + 2cdot1 = 3, ok.

Passo 6

O ponto de interseção é obtido para t=1 (ou lambda=1):
r(1)=(-1-1,,-1+4,;1+1)=(-2,;3,;2)
Como existe esse ponto comum, as retas são concorrentes.

Resposta

b) São concorrentes e interceptam em (-2,3,2).

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