Determine a equação reduzida da superfície quando necessário, faça os seus traços por planos paralelos aos planos coordenados e um esboço do seu gráfico:
Passo 1
O enunciado dá a superfície de equação
e pede (1) a forma reduzida, (2) os traços por planos paralelos aos planos coordenados e (3) um esboço do gráfico. Vamos completar quadrados em
e
para reconhecer o tipo de superfície (paraboloide elíptico).
Passo 2
Reagrupando e isolando
:
Completo o quadrado em
:
e em
:
Substituindo:
Os termos constantes somam
, então
Isolando
:
Passo 3
A forma reduzida é
Isto identifica um paraboloide elíptico com vértice em
, eixo paralelo ao eixo
e que abre para baixo (coeficientes negativos).
Passo 4
Traços em planos paralelos aos planos coordenados:
-
Plano
. Substituindo em Sedá elipse de semieixos , .
Seé ponto .
Senão há solução real. -
Plano
. A equação fica que é uma parábola no plano, virada para baixo e com vértice em . -
Plano
. De modo análogo, parábola no plano, também voltada para baixo.
Passo 5
Esboço: desenho um paraboloide elíptico com vértice em
. As secções horizontais
(
) são elipses centradas em
de semieixos
e
, e as secções verticais paralelas a
ou
são parábolas descendentes.
Resposta
Forma reduzida:
Traços:
-
: elipses para , ponto para . -
ou : parábolas voltadas para baixo.
Superfície: paraboloide elíptico com vértice em, abrindo para baixo.