Determine a equação reduzida da superfície quando necessário, faça os seus traços por planos paralelos aos planos coordenados e um esboço do seu gráfico:
4 x^{2}+25 y^{2}-16 x-50 y+100 z+341=0

Passo 1

O enunciado dá a superfície de equação
4x^{2} + 25y^{2} - 16x - 50y +100z +341 = 0
e pede (1) a forma reduzida, (2) os traços por planos paralelos aos planos coordenados e (3) um esboço do gráfico. Vamos completar quadrados em x e y para reconhecer o tipo de superfície (paraboloide elíptico).

Passo 2

Reagrupando e isolando z:
4\bigl(x^{2}-4x\bigr)+25\bigl(y^{2}-2y\bigr)+100z+341=0.
Completo o quadrado em x:
x^{2}-4x = (x-2)^{2}-4,
e em y:
y^{2}-2y = (y-1)^{2}-1.
Substituindo:
4\bigl((x-2)^{2}-4\bigr)+25\bigl((y-1)^{2}-1\bigr)+100z+341=0.
Os termos constantes somam -16-25+341=300, então
4(x-2)^{2}+25(y-1)^{2}+100z+300=0.
Isolando z:
100z = -4(x-2)^{2}-25(y-1)^{2}-300 \quad\Longrightarrow\quad z = -\frac{(x-2)^{2}}{25}-\frac{(y-1)^{2}}{4}-3.

Passo 3

A forma reduzida é
z + 3 = -\frac{(x-2)^{2}}{25}-\frac{(y-1)^{2}}{4}.
Isto identifica um paraboloide elíptico com vértice em (2,1,-3), eixo paralelo ao eixo z e que abre para baixo (coeficientes negativos).

Passo 4

Traços em planos paralelos aos planos coordenados:
  1. Plano z=k. Substituindo em
    (x-2)^{2}/25 + (y-1)^{2}/4 = -(k+3).
    Se k<-3 dá elipse de semieixos a=5\sqrt{-(k+3)}, b=2\sqrt{-(k+3)}.
    Se k=-3 é ponto (2,1,-3).
    Se k>-3 não há solução real.
  2. Plano x=k. A equação fica
    z = -\frac{(k-2)^{2}}{25} - \frac{(y-1)^{2}}{4} -3,
    que é uma parábola no plano yz, virada para baixo e com vértice em \bigl(y=1,\,z=-(k-2)^{2}/25-3\bigr).
  3. Plano y=k. De modo análogo,
    z = -\frac{(x-2)^{2}}{25} - \frac{(k-1)^{2}}{4} -3,
    parábola no plano xz, também voltada para baixo.

Passo 5

Esboço: desenho um paraboloide elíptico com vértice em (2,1,-3). As secções horizontais z=-3-h ( h>0) são elipses centradas em (2,1) de semieixos 5\sqrt{h} e 2\sqrt{h}, e as secções verticais paralelas a xz ou yz são parábolas descendentes.

Resposta

Forma reduzida:
z + 3 = -\frac{(x-2)^{2}}{25}-\frac{(y-1)^{2}}{4}.
Traços:
  • z=k: elipses para k<-3, ponto para k=-3.
  • x=k ou y=k: parábolas voltadas para baixo.
    Superfície: paraboloide elíptico com vértice em (2,1,-3), abrindo para baixo.

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