Prove que 1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots+n^{2}>\frac{n^{3}}{3}, para todo n \in \mathbb{N}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, por indução matemática, que
1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots+n^{2}>\frac{n^{3}}{3}
para todo n\in\mathbb{N}. Vamos usar o método de indução, que tem dois passos: verificar a base e depois o passo indutivo.

Passo 2

Base da indução: para n=1 temos
1^{2}=1
e
\frac{1^{3}}{3}=\frac{1}{3}.
Como 1>\tfrac{1}{3}, a desigualdade vale para n=1.

Passo 3

Hipótese indutiva: suponha que para algum k\in\mathbb{N} seja verdadeira a desigualdade
1^{2}+2^{2}+\cdots+k^{2}>\frac{k^{3}}{3}.

Passo 4

Passo indutivo: somamos (k+1)^{2} a ambos os lados da hipótese:
1^{2}+\cdots+k^{2}+(k+1)^{2}>\frac{k^{3}}{3}+(k+1)^{2}.
Queremos ver que isso é maior que \tfrac{(k+1)^{3}}{3}. Basta checar
\frac{k^{3}}{3}+(k+1)^{2}>\frac{(k+1)^{3}}{3}.
Multiplicando por 3,
k^{3}+3(k+1)^{2}>(k+1)^{3}.
Expandindo, o lado esquerdo vira
k^{3}+3(k^{2}+2k+1)=k^{3}+3k^{2}+6k+3
e o direito é
(k+1)^{3}=k^{3}+3k^{2}+3k+1.
A diferença entre os dois é
(k^{3}+3k^{2}+6k+3)-(k^{3}+3k^{2}+3k+1)=3k+2,
que é sempre positivo para k\ge1. Logo a desigualdade vale também para k+1.

Passo 5

Concluímos que, tendo a base n=1 e o passo indutivo garantido, por indução a desigualdade
1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2}>\frac{n^{3}}{3}
é verdadeira para todo n\in\mathbb{N}.

Resposta

A desigualdade está provada para todo n\in\mathbb{N}.

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