Prove que
, para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, por indução matemática, que
para todo
. Vamos usar o método de indução, que tem dois passos: verificar a base e depois o passo indutivo.
Passo 2
Base da indução: para
temos
e
Como
, a desigualdade vale para
.
Passo 3
Hipótese indutiva: suponha que para algum
seja verdadeira a desigualdade
Passo 4
Passo indutivo: somamos
a ambos os lados da hipótese:
Queremos ver que isso é maior que
. Basta checar
Multiplicando por
,
Expandindo, o lado esquerdo vira
e o direito é
A diferença entre os dois é
que é sempre positivo para
. Logo a desigualdade vale também para
.
Passo 5
Concluímos que, tendo a base
e o passo indutivo garantido, por indução a desigualdade
é verdadeira para todo
.
Resposta
A desigualdade está provada para todo
.