Prove que o número 3^{n}-1 é múltiplo de 2 , para todo n \in \mathbb{N}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo n\in\mathbb{N}, o número 3^n-1 é múltiplo de 2. O conteúdo utilizado será divisibilidade e prova por indução matemática.

Passo 2

Base da indução ( n=1):
3^1 - 1 = 3 - 1 = 2,
e 2 é múltiplo de 2. Logo, a propriedade vale para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que, para algum k\in\mathbb{N}, vale que 3^k - 1 é múltiplo de 2. Ou seja, existe m\in\mathbb{Z} tal que
3^k - 1 = 2m.

Passo 4

Passo indutivo ( n=k+1):
3^{k+1} - 1 = 3\cdot 3^k - 1 = 3\bigl(3^k - 1\bigr) + 2.
Pela hipótese de indução, 3^k - 1 = 2m, então
3^{k+1} - 1 = 3\cdot (2m) + 2 = 6m + 2 = 2\,(3m + 1),
que é múltiplo de 2.

Passo 5

Concluímos, pelo princípio da indução, que para todo n\in\mathbb{N} o número 3^n - 1 é múltiplo de 2.

Resposta

Para todo n\in\mathbb{N}, 3^n - 1 é múltiplo de 2.

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