Determine a equação de regressão linear para a amostra dada (2 pontos).
Y_{i}=\hat{\beta}_{0}+\hat{\beta}_{1} X_{i}
  • \hat{\beta}_{1}=\frac{\sum x y-\sum x \sum y / n}{\sum x^{2}-\frac{\left(\sum x\right)^{2}}{n}}=\frac{130223-\frac{1328-773}{8}}{224606-\frac{(1328)^{2}}{8}}=\frac{130223-128318}{224606-220448}=\frac{1905}{4158}=0,458
  • \hat{\beta}_{0}=\bar{Y}_{1}-\hat{\beta}_{1} \bar{x}_{1} \leadsto \hat{\beta}_{0}=96,625-0,458-166=96,625-76,028=20,597
    \left{ \begin{array}{l}\bar{Y}=\frac{773}{8}=96,625 \\ \bar{x}=\frac{3328}{8}=166\end{array}\right.\

Passo 1

O enunciado pede a reta de regressão linear simples
Y_{i} = \hat\beta_{0} + \hat\beta_{1}\,X_{i}
para uma amostra de n=8 observações, cujos valores de \sum x, \sum y, \sum x y e \sum x^{2} já estão fornecidos. Vamos usar as fórmulas clássicas
\hat\beta_{1} = \frac{\sum x y - \frac{(\sum x)(\sum y)}{n}}{\sum x^{2} - \frac{(\sum x)^{2}}{n}} \quad\text{e}\quad \hat\beta_{0} = \bar y - \hat\beta_{1}\,\bar x.

Passo 2

Calculamos primeiro as somas e as médias:
\sum x = 1328,\quad \sum y = 773,\quad \sum x y = 130223,\quad \sum x^{2} = 224606, \quad n = 8.
As médias são
\bar x = \frac{1328}{8} = 166, \qquad \bar y = \frac{773}{8} = 96,625.

Passo 3

Aplicando a fórmula de \hat\beta_{1}:
\hat\beta_{1} = \frac{130223 \;-\;\dfrac{1328\cdot773}{8}} {224606 \;-\;\dfrac{(1328)^{2}}{8}} = \frac{130223 - 128318}{224606 - 220448} = \frac{1905}{4158} \approx 0,458.

Passo 4

Em seguida, calculamos \hat\beta_{0}:
\hat\beta_{0} = \bar y - \hat\beta_{1}\,\bar x = 96,625 - (0,458)\times166 = 96,625 - 76,028 = 20,597.

Resposta

A equação de regressão linear ajustada é
\hat Y_{i} = 20,597 \;+\; 0,458\,X_{i}.

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