Em uma linha de produção de fontes de alimentação, deseja-se estimar a média da tensão de saída. Com base em uma amostra de n=25 fontes, obteve-se média amostral de 12,1 \mathrm{~V}. Sabe-se que o desvio padrão populacional é 0,4 \mathrm{~V}. Supondo que a variável aleatória da tensão de saída segue uma distribuição normal. Pede-se:
(a) Construa um intervalo de confiança de 92 \% para a média da tensão de saída. Interprete o resultado.
(b) Qual o tamanho amostral necessário para que a estimativa da média tenha erro máximo de 0,05 \mathrm{~V} com 90 \% de confiança?

Passo 1

O enunciado pede um intervalo de confiança de 92% para a média da tensão de saída, com amostra de tamanho n=25, média amostral \bar x = 12,1\,\mathrm V e desvio padrão populacional \sigma=0,4\,\mathrm V. Em seguida, pede o tamanho amostral para erro máximo E=0,05\,\mathrm V com 90% de confiança. O conteúdo é intervalo de confiança e cálculo de tamanho amostral para média com \sigma conhecido, usando distribuição normal.

Passo 2

Para construir o intervalo, usamos a fórmula do intervalo de confiança para média com \sigma conhecido:
\bar x \pm z_{1-\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde \alpha=1-0,92=0,08 e \alpha/2=0,04.

Passo 3

O valor crítico z_{1-\alpha/2} satisfaz \Pr(Z \le z_{0,96})=0,96. Consultando a tabela da normal padrão, obtemos z_{0,96}\approx1,7507. A margem de erro é
E = 1,7507\;\frac{0,4}{\sqrt{25}} = 1,7507\times0,08 \approx0,14.

Passo 4

Portanto, o intervalo de confiança é
12,1 \pm 0,14 \implies (11,96,\;12,24)\,\mathrm V.
Interpretamos que, com 92% de confiança, o valor verdadeiro da média da tensão de saída está entre 11,96\,\mathrm V e 12,24\,\mathrm V.

Passo 5

Para determinar o tamanho amostral necessário com erro máximo E=0,05\,\mathrm V e 90% de confiança, usamos
n = \left(z_{1-\alpha/2}\,\frac{\sigma}{E}\right)^2,
onde agora \alpha=1-0,90=0,10, logo z_{1-\alpha/2}=z_{0,95}\approx1,645.

Passo 6

Substituindo:
n = \Bigl(1,645\times\frac{0,4}{0,05}\Bigr)^2 = (1,645\times8)^2 = (13,16)^2 \approx173,19.
Como n deve ser inteiro, arredondamos para cima e obtemos n=174.

Resposta

(a) Intervalo de confiança de 92% para \mu: (11,96\,\mathrm V,\;12,24\,\mathrm V).
(b) Tamanho amostral necessário: n=174.

Exercícios relacionados