Uma empresa que presta atendimento domiciliar tem na sua frota veículos leves com motores a óleo diesel. Devido ao custo atual do combustível, os donos da empresa desejam avaliar a possibilidade de substituir alguns veículos por modelos mais econômicos. A média amostral de consumo por unidade, numa amostra de tamanho 25 foi de \bar{x}=10,106 \mathrm{~km} /litro.
a) Considerando uma variância de \sigma^{2}=19,36, teste a hipótese unilateral de que o consumo médio é de 9 km /litro (use \alpha=0,05 )? Interprete o resultado.
b) Determine o valor p do teste.
c) De quanto deve ser a variância para que, com o mesmo tamanho de amostra, o teste tenha conclusão oposta?

Passo 1

O enunciado diz que temos uma amostra de tamanho n=25 com média amostral \bar{x}=10,106 km/l e variância populacional conhecida \sigma^2=19,36, ou seja, \sigma=4,4. Queremos testar
H_0:\mu=9 \quad\text{versus}\quad H_1:\mu>9
ao nível de significância \alpha=0,05. O procedimento usa o teste Z para média com variância conhecida.

Passo 2

Calculamos a estatística do teste como
z = \frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{10,106 - 9}{4,4/\sqrt{25}} = \frac{1,106}{4,4/5} = \frac{1,106}{0,88} \approx 1,2568.

Passo 3

O valor crítico para um teste unilateral à direita com \alpha=0,05 é
z_{0,05}=1,645.
Como 1,2568 < 1,645, não rejeitamos H_0.
Interpretação: ao nível de 5\%, não há evidência estatística suficiente para afirmar que o consumo médio é maior que 9 km/l.

Passo 4

O p-valor é dado por
p = 1 - \Phi(1,2568)\approx 1 - 0,8958 = 0,1042.
Ou seja, p\approx0,104.

Passo 5

Para inverter a conclusão (isto é, rejeitar H_0 ao mesmo \alpha=0,05), precisamos que a estatística atinja o limiar 1,645. Então exigimos
\frac{\bar{x}-9}{\sigma/\sqrt{25}}\ge1,645 \quad\Longrightarrow\quad \sigma \le \frac{(10,106-9)\,5}{1,645} = \frac{1,106\cdot5}{1,645}\approx3,363.
Logo, a variância teria de ser
\sigma^2 \approx (3,363)^2 \approx 11,31
ou menor para que, com o mesmo \bar{x} e n, o teste chegasse a rejeitar H_0.

Resposta

a) z\approx1,2568<1,645, logo não rejeitamos H_0. Não há evidência de que o consumo médio exceda 9 km/l ao nível de 5%.
b) p\approx0,104.
c) Para inverter a conclusão, precisaríamos de \sigma^2\le11,31.

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