Determine a equação da reta concorrente com e , paralela à reta se
(a) , h contém os pontos A(1,-1,4) e B(0,-3,-1).
(b) r:(1 / 3,2 / 3,0)+t(5,4,3), s: x+12=y=-z, h:(0,0,0)+lambda(1,0,1).
Passo 1
Resumo do enunciado e estratégia geral:
Queremos uma reta ell que interseccione tanto r quanto s (isto é, seja concorrente com ambas) e, ao mesmo tempo, seja paralela a uma reta h dada. Como h possui vetor diretor vh, a reta ell terá o mesmo vetor diretor vh. Para encontrar ell tomamos um ponto genérico P em r e um ponto genérico Q em s e impomos
Q = P + mu, vh
para algum parâmetro mu, além de exigir que Q satisfaça a equação de s. Se o sistema for compatível, ele fornece o ponto de interseção com r e com s e a reta ell; se for incompatível, concluímos que não existe reta com essas propriedades.
Passo 2
Parte (a): calcular vh, parametrizar r e escrever um ponto genérico em r.
Dado h contendo
A=(1,-1,4), B=(0,-3,-1)
o vetor diretor de h é
vh = B - A = (-1,,-2,,-5)
A reta
r:;(1,1,-1)+t,(2,1,-1)
tem ponto genérico
P(t) = (1+2t,,1+t,,-1 - t)
Passo 3
Parte (a) continua: escrever a condição de interseção com s.
A reta candidata ell saindo de P(t) e com direção vh é
X = P(t) + mu,(-1,-2,-5)
Chamando esse ponto de Q=(x,y,z), impomos que Q satisfaça as equações de s:
x+y-3z = 1, 2x-y-2z = 0
Substituindo
x = 1+2t - mu, y = 1+t -2mu, z = -1 - t -5mu
gera o sistema
3t + 6mu = -2, t + 2mu = -tfrac35
Passo 4
Análise do sistema da parte (a):
3t+6mu=-2Longrightarrow t+2mu=-tfrac23,
mas a segunda equação exige t+2mu=-tfrac35. Como -tfrac23neq -tfrac35, o sistema é incompatível.
Conclusão da parte (a): não existe reta que interseccione r e s e seja paralela a h.
Passo 5
Parte (b): calcular vh, parametrizar r e s.
Em (b),
r:;l(tfrac13,tfrac23,0r)+t,(5,4,3),
logo
P(t)=l(tfrac13+5t,;tfrac23+4t,;3tr)
A reta
s:;x+12=y=-z
pode ser parametrizada por u=y, dando
Q(u)=l(-1+2u,;u,;-ur)
Como h em (b) é
(0,0,0)+lambda(1,0,1),
temos vetor diretor vh=(1,0,1).
Passo 6
Montar e resolver o sistema para parte (b).
Queremos
Q(u);=;P(t);+;mu,(1,0,1)
Isso equivale a
tfrac13+5t+mu = -1+2u, tfrac23+4t = u, 3t+mu = -u
Da segunda equação vem u=tfrac23+4t.
Substituindo nas outras, resolvemos e obtemos
t = -tfrac115, u = tfrac25, mu = -tfrac15
O ponto de interseção Pl(-tfrac115r) em r é
P = l(,0,;tfrac25,;-tfrac15r)
Passo 7
Equação da reta da parte (b).
A reta ell parte de P=(0,tfrac25,-tfrac15) e tem direção (1,0,1), logo em forma vetorial: