Determine as transformações lineares tal que:
T(-1,1)=(2,1,3), T(2,1)=(1 / 2,2,-1 / 2)

Passo 1

O enunciado pede uma transformação linear
Tcolon R^2 to R^3 tal que
T(-1,1) = (2,1,3), T(2,1) = l(tfrac12,2,-tfrac12r)
O conteúdo aqui é que uma transformação linear em R^2 fica totalmente determinada pelas imagens de uma base de R^2. Vamos usar os vetores dados como base e montar um sistema para encontrar a matriz de T.

Passo 2

Primeiro verificamos que os vetores (-1,1) e (2,1) formam de fato uma base de R^2. O determinante da matriz formada por esses vetores é
-1 & 2 ;,1 & 1 = (-1)cdot1 - 1cdot2 = -1 - 2 = -3 neq 0,
logo são linearmente independentes e portanto base.

Passo 3

Escrevemos em coordenadas como
Usando os dados temos dois sistemas:
para sai
e para sai

Passo 4

Dos seis escalarimos obtemos as equações
-a + b = 2, 2a + b = tfrac12, -c + d = 1, 2c + d = 2, -e + f = 3, 2e + f = -tfrac12
Resolvendo cada par:
;b = a+2 e 2a + (a+2)=tfrac12 dão a=-tfrac12, b=tfrac32.
;d = c+1 e 2c + (c+1)=2 dão c=tfrac13, d=tfrac43.
;f = e+3 e 2e + (e+3)=-tfrac12 dão e=-tfrac76, f=tfrac116.

Passo 5

Substituindo na expressão geral, a transformação fica
T(x,y) = l(-tfrac12,x + tfrac32,y,; tfrac13,x + tfrac43,y,; -tfrac76,x + tfrac116,yr)

Resposta

T(x,y) = l(-tfrac12 x + tfrac32 y,;tfrac13 x + tfrac43 y,; -tfrac76 x + tfrac116 yr)

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