Determine uma equação para a reta normal à curva ou superfície dada, nos pontos indicados:
Superfície:
.
Superfície:
Passo 1
A superfície é dada por z = x² + y² - 1 e queremos a reta normal a essa superfície no ponto P(1,1,1). O conteúdo envolvido é a reta normal a uma superfície definida implicitamente, que encontramos usando o gradiente de uma função F(x,y,z) cuja superfície é o nível zero.
Passo 2
Definimos a função F(x,y,z) de forma que a superfície seja F(x,y,z)=0. Aqui escolhemos
O vetor normal à superfície em qualquer ponto é dado por ∇F.
Passo 3
Calculamos o gradiente:
Avaliando em P(1,1,1) temos
Passo 4
O vetor direção da reta normal é então (2,2,-1). Como a reta passa por P(1,1,1), sua equação paramétrica fica:
com t∈ℝ.
Resposta
Equação paramétrica da reta normal: x=1+2t, y=1+2t, z=1−t, para t∈ℝ.