Determine uma equação para a reta normal à curva ou superfície dada, nos pontos indicados:
Superfície: z=x^2+y^2-1, P(1,1,1).

Passo 1

A superfície é dada por z = x² + y² - 1 e queremos a reta normal a essa superfície no ponto P(1,1,1). O conteúdo envolvido é a reta normal a uma superfície definida implicitamente, que encontramos usando o gradiente de uma função F(x,y,z) cuja superfície é o nível zero.

Passo 2

Definimos a função F(x,y,z) de forma que a superfície seja F(x,y,z)=0. Aqui escolhemos
F(x,y,z)=x^2+y^2-1-z
O vetor normal à superfície em qualquer ponto é dado por ∇F.

Passo 3

Calculamos o gradiente:
∇F(x,y,z)=l(2x,,2y,-1r)
Avaliando em P(1,1,1) temos
∇F(1,1,1)=(2cdot1,,2cdot1,,-1)=(2,2,-1)

Passo 4

O vetor direção da reta normal é então (2,2,-1). Como a reta passa por P(1,1,1), sua equação paramétrica fica:
x=1+2t, y=1+2t, z=1-t,
com t∈ℝ.

Resposta

Equação paramétrica da reta normal: x=1+2t, y=1+2t, z=1−t, para t∈ℝ.

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