Seja C a curva parametrizada por r(t)=(cos t, sin t, 1-2 sin t), 0 <= t <= 2 pi. Determine:
(a) O vetor r^prime(t);
(b) A equação da reta tangente à curva no ponto P=(-1,0,1);
(c) O versor tangente;
(d) O plano normal à curva C no ponto correspondente a t=0.

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
r(t) = (cos t,,sin t,,1-2sin t), 0<= t<=2pi,
e pede:
(a) o vetor derivada r'(t);
(b) a reta tangente em P=(-1,0,1);
(c) o versor tangente T(t);
(d) o plano normal em t=0.
Para isso vamos usar derivação de vetores, definição de reta tangente, normalização para o versor e a equação de plano com vetor normal.

Passo 2

Derivando componente a componente, temos
ddt(cos t)= -sin t, ddt(sin t)=cos t, ddt(1-2sin t)= -2cos t
Logo
r'(t)=(-sin t,,cos t,,-2cos t)

Passo 3

Primeiro achamos o valor de t que leva a P=(-1,0,1). As duas primeiras coordenadas exigem
cos t=-1, sin t=0Longrightarrow t=pi
Confirmamos que 1-2sinpi=1. Então a reta tangente em P tem direção r'(pi):
r'(pi)=(-sinpi,cospi,-2cospi)=(0,-1,2)
A equação paramétrica da reta é
ell(s)=(-1,0,1)+s,(0,-1,2)

Passo 4

Para obter o versor tangente T(t) normalizamos r'(t). Primeiro o módulo:
|r'(t)| =raiz(-sin t)^2+(cos t)^2+(-2cos t)^2 =raizsin^2t+cos^2t+4cos^2t =raiz1+4cos^2t
Logo
T(t) =r'(t)|r'(t)| =1raiz1+4cos^2t,(-sin t,cos t,-2cos t)

Passo 5

No ponto t=0 temos P0=r(0)=(1,0,1) e vetor tangente r'(0)=(0,1,-2). O plano normal é o plano com vetor normal (0,1,-2) passando por P0, cuja equação se obtém de
(0,1,-2)cdot(x-1,y-0,z-1)=0 Longrightarrow y-2(z-1)=0 Longrightarrow y-2z+2=0

Resposta

(a) r'(t)=(-sin t,cos t,-2cos t)
(b) ell(s)=(-1,0,1)+s,(0,-1,2)
(c) T(t)=1raiz1+4cos^2t,(-sin t,cos t,-2cos t)
(d) y-2z+2=0

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