Seja
a curva parametrizada por
. Determine:
(a) O vetor
;
(b) A equação da reta tangente à curva no ponto
;
(c) O versor tangente;
(d) O plano normal à curva
no ponto correspondente a
.
(a) O vetor
(b) A equação da reta tangente à curva no ponto
(c) O versor tangente;
(d) O plano normal à curva
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada
e pede:
(a) o vetor derivada ;
(b) a reta tangente em ;
(c) o versor tangente ;
(d) o plano normal em .
Para isso vamos usar derivação de vetores, definição de reta tangente, normalização para o versor e a equação de plano com vetor normal.
(a) o vetor derivada
(b) a reta tangente em
(c) o versor tangente
(d) o plano normal em
Para isso vamos usar derivação de vetores, definição de reta tangente, normalização para o versor e a equação de plano com vetor normal.
Passo 2
Derivando componente a componente, temos
Logo
Passo 3
Primeiro achamos o valor de
que leva a
. As duas primeiras coordenadas exigem
Confirmamos que
. Então a reta tangente em
tem direção
:
A equação paramétrica da reta é
Passo 4
Para obter o versor tangente
normalizamos
. Primeiro o módulo:
Logo
Passo 5
No ponto
temos
e vetor tangente
. O plano normal é o plano com vetor normal
passando por
, cuja equação se obtém de
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)