Um quadrado tem vértices consecutivos \mathrm{A}(3,3) e \mathrm{B}(4,2). Determine a equação da circunferência circunscrita ao quadrado.

Passo 1

O enunciado dá dois vértices consecutivos do quadrado:
  • A(3,3);
  • B(4,2).
O que se pede:
  • Determinar a equação da circunferência circunscrita ao quadrado (ou seja, a circunferência que passa por todos os vértices do quadrado cujo dois vértices consecutivos são A e B).
Informações úteis extraídas dos pontos:
  • O segmento AB é um lado do quadrado.
  • O centro da circunferência circunscrita é o centro do quadrado (ponto equidistante de todos os vértices).

Passo 2

Calcular o vetor e o comprimento do lado AB e o ponto médio M de AB.
O vetor \overrightarrow{AB} é
\overrightarrow{AB} = B - A = (4-3,\;2-3) = (1,-1).
O comprimento do lado s é
s = \lVert \overrightarrow{AB}\rVert = \sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}.
O ponto médio M de AB é
M=\left(\frac{3+4}{2},\;\frac{3+2}{2}\right)=(3{,}5,\;2{,}5).
(Comentário didático: o centro do quadrado fica sobre a mediatriz do lado AB, ou seja, sobre a reta perpendicular a AB que passa por M.)

Passo 3

Descrever a mediatriz de AB e parametrizar pontos sobre ela.
Uma direção perpendicular a \overrightarrow{AB}=(1,-1) é (1,1) (pois (1,-1)\cdot(1,1)=0). Logo a mediatriz é a reta que passa por M e tem vetor diretor (1,1). Parametrizamos um ponto genérico O nessa reta como
O = M + t(1,1) = (3{,}5+t,\;2{,}5+t),
onde t\in\mathbb{R}.
(Comentário didático: todo ponto da mediatriz é equidistante de A e B. O centro do circunferência deve estar nessa mediatriz, porque precisa satisfazer OA=OB.)

Passo 4

Impor a condição geométrica própria do quadrado relacionada ao centro: os raios \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB} formam ângulo de 90^\circ.
Explicação didática: num quadrado inscrito numa circunferência, dois vértices consecutivos A e B correspondem a pontos na circunferência separados por ângulo central de 90^\circ. Isso significa que os vetores \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB} (onde O é o centro) são perpendiculares, logo seu produto escalar é zero:
\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=0.
Agora escrevemos \overrightarrow{OA} e \overrightarrow{OB} em função de t.
\overrightarrow{OA} = A-O = (3,3)-(3{,}5+t,2{,}5+t)=(-0{,}5-t,\;0{,}5-t),
\overrightarrow{OB} = B-O = (4,2)-(3{,}5+t,2{,}5+t)=(0{,}5-t,\;-0{,}5-t).
Fazendo o produto escalar e impondo igualdade a zero:
\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=(-0{,}5-t)(0{,}5-t)+(0{,}5-t)(-0{,}5-t)=0.
Simplificando:
2\bigl((-0{,}5-t)(0{,}5-t)\bigr)=0 \quad\Rightarrow\quad (-0{,}5-t)(0{,}5-t)=0.
As soluções são
t=-0{,}5 \quad\text{ou}\quad t=0{,}5.
(Comentário didático: surgem duas soluções porque dados dois pontos adjacentes de um quadrado há duas orientações possíveis do quadrado: ele pode “ficar” para um lado da mediatriz ou para o outro — ambas são quadrados válidos.)

Passo 5

Determinar os centros O correspondentes a cada valor de t e calcular o raio.
Para t=0{,}5:
O_1 = (3{,}5+0{,}5,\;2{,}5+0{,}5)=(4,\;3).
Para t=-0{,}5:
O_2 = (3{,}5-0{,}5,\;2{,}5-0{,}5)=(3,\;2).
Calcular o raio R como distância de O a A (é o mesmo para B):
Para O_1=(4,3),
R_1 = \lVert A-O_1\rVert = \sqrt{(3-4)^2+(3-3)^2}=\sqrt{1}=1.
Para O_2=(3,2),
R_2 = \lVert A-O_2\rVert = \sqrt{(3-3)^2+(3-2)^2}=\sqrt{1}=1.
Ambas as circunferências têm raio 1.

Passo 6

Escrever as equações das circunferências correspondentes.
Equação geral de uma circunferência com centro (h,k) e raio R:
(x-h)^2+(y-k)^2=R^2.
Para O_1=(4,3) e R_1=1:
(x-4)^2+(y-3)^2=1.
Para O_2=(3,2) e R_2=1:
(x-3)^2+(y-2)^2=1.
(Comentário final e motivador: vimos passo a passo — vetor lado, mediatriz, condição de perpendicularidade entre raios centrais para vértices consecutivos e solução da parametrização — e encontramos as duas circunferências possíveis. Você consegue desenhar mentalmente os dois quadrados: um centrado em (4,3) e outro em (3,2). Vai dar certo na prova!)

Resposta

(x-4)^2+(y-3)^2=1
(x-3)^2+(y-2)^2=1

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