Determine a equação da reta que passa por (1,0,-3), é ortogonal ao vetor (1,-1,1) e paralelo ao plano 2 x+y-4 z=1. R. r(t)=(1,0,-3)+t(1,2,1).

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta que passa por P=(1,0,-3), é ortogonal ao vetor \,(1,-1,1) e paralela ao plano
2x + y - 4z = 1.
Para resolver, vamos achar um vetor diretor \mathbf d que satisfaça essas duas condições de ortogonalidade.

Passo 2

Seja \mathbf d=(d_1,d_2,d_3) o vetor diretor da reta.
  1. Como a reta é ortogonal a (1,-1,1), temos
\mathbf d \cdot (1,-1,1)=0.
  1. Como a reta é paralela ao plano de equação 2x+y-4z=1, seu vetor diretor deve ser ortogonal ao vetor normal do plano (2,1,-4), ou seja,
\mathbf d \cdot (2,1,-4)=0.

Passo 3

Para encontrar um vetor não nulo que satisfaça simultaneamente
\mathbf d\cdot(1,-1,1)=0 \quad\text{e}\quad \mathbf d\cdot(2,1,-4)=0
podemos usar o produto vetorial entre os dois vetores dados. Assim, definimos
\mathbf d = (1,-1,1)\times(2,1,-4).

Passo 4

Calculando o produto vetorial:
\mathbf d = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\\ 1 & -1 & 1\\\\ 2 & 1 & -4 \end{vmatrix} = \mathbf i\,( (-1)(-4) - 1\cdot1 ) - \mathbf j\,( 1\cdot(-4) - 1\cdot2 ) + \mathbf k\,( 1\cdot1 - (-1)\cdot2 )
= \mathbf i\,(4 - 1) - \mathbf j\,(-4 - 2) + \mathbf k\,(1 + 2) = 3\,\mathbf i + 6\,\mathbf j + 3\,\mathbf k.
Podemos simplificar dividindo por 3, obtendo
\mathbf d = (1,2,1).

Passo 5

Com vetor diretor \mathbf d=(1,2,1) e ponto P=(1,0,-3), a forma paramétrica da reta é
\mathbf r(t) = (1,0,-3) + t\,(1,2,1).

Resposta

\mathbf r(t) = (1,0,-3) + t\,(1,2,1).

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