Encontre a equação geral de um círculo em um plano arbitrário
Dica: Considere o plano n_{1}\left(x-c_{1}\right)+n_{2}\left(y-c_{2}\right)+n_{3}\left(z-c_{3}\right)=0. Escolha uma solução da equação \langle n, v\rangle=0 e defina a=\frac{v}{|v|}. Seja w=n \times a e defina b=\frac{w}{|w|} Agora é fácil mostrar que os pontos da forma
P(\theta)=\left(c_{1}, c_{2}, c_{3}\right)+\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right) r \cos \theta+\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right) r \operatorname{sen} \theta
pertencem ao plano dado e \left|P-\left(c_{1}, c_{2}, c_{3}\right)\right|=r^{2} para todo \theta \in[0,2 \pi].

Passo 1

O objetivo é encontrar a equação de um círculo de centro
C=(c_{1},c_{2},c_{3})
e raio r que esteja contido no plano
n_{1}(x-c_{1})+n_{2}(y-c_{2})+n_{3}(z-c_{3})=0.
O conteúdo é geometria analítica no espaço: o círculo aparece como interseção de uma esfera de centro C e raio r com esse plano.

Passo 2

Escrevemos de forma vetorial a equação do plano. Se n=(n_{1},n_{2},n_{3}) e P=(x,y,z), então
\langle n,\,P-C\rangle = n_{1}(x-c_{1})+n_{2}(y-c_{2})+n_{3}(z-c_{3}) =0.

Passo 3

A esfera de centro C e raio r tem equação
\|P-C\|^{2} = (x-c_{1})^{2}+(y-c_{2})^{2}+(z-c_{3})^{2} = r^{2}.

Passo 4

O círculo é justamente a interseção dessas duas superfícies. Logo, sua equação implícita é o sistema
\begin{cases} n_{1}(x-c_{1})+n_{2}(y-c_{2})+n_{3}(z-c_{3})=0,\\[6pt] (x-c_{1})^{2}+(y-c_{2})^{2}+(z-c_{3})^{2}=r^{2}. \end{cases}]

Passo 5

Para obter a forma paramétrica, escolhemos um vetor v\neq0 tal que
\langle n,v\rangle=0,
definimos
a=\frac{v}{\|v\|},
depois
w=n\times a, \quad b=\frac{w}{\|w\|}.
Então a e b são ortonormais e estão no plano, e basta tomar
P(\theta) = C + r\,\bigl(a\cos\theta \;+\; b\sin\theta\bigr), \quad \theta\in[0,2\pi],
que descreve exatamente todos os pontos do círculo.

Resposta

O círculo de centro C=(c_{1},c_{2},c_{3}) e raio r contido no plano n_{1}(x-c_{1})+n_{2}(y-c_{2})+n_{3}(z-c_{3})=0 é dado implicitamente por
\begin{cases} n_{1}(x-c_{1})+n_{2}(y-c_{2})+n_{3}(z-c_{3})=0,\\[4pt] (x-c_{1})^{2}+(y-c_{2})^{2}+(z-c_{3})^{2}=r^{2}, \end{cases}
ou parametricamente por
P(\theta) = \bigl(c_{1},c_{2},c_{3}\bigr) + r\bigl(a\cos\theta + b\sin\theta\bigr), \quad a,b\in\mathbb{R}^{3}\text{ ortonormais e }n\cdot a=0=n\cdot b.]

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