Encontre a equação geral de um círculo em um plano arbitrário
Dica: Considere o plano
. Escolha uma solução da equação
e defina
. Seja
e defina
Agora é fácil mostrar que os pontos da forma
pertencem ao plano dado e
para todo
.
Passo 1
O objetivo é encontrar a equação de um círculo de centro
e raio
que esteja contido no plano
O conteúdo é geometria analítica no espaço: o círculo aparece como interseção de uma esfera de centro
e raio
com esse plano.
Passo 2
Escrevemos de forma vetorial a equação do plano. Se
e
, então
Passo 3
A esfera de centro
e raio
tem equação
Passo 4
O círculo é justamente a interseção dessas duas superfícies. Logo, sua equação implícita é o sistema
Passo 5
Para obter a forma paramétrica, escolhemos um vetor
tal que
definimos
depois
Então
e
são ortonormais e estão no plano, e basta tomar
que descreve exatamente todos os pontos do círculo.
Resposta
O círculo de centro
e raio
contido no plano
é dado implicitamente por
ou parametricamente por