Encontre a equação geral de um círculo em um plano arbitrário
Dica: Considere o plano n_{1}\left(x-c_{1}\right)+n_{2}\left(y-c_{2}\right)+n_{3}\left(z-c_{3}\right)=0. Escolha uma solução da equação \langle n, v\rangle=0 e defina a=\frac{v}{|v|}. Seja w=n \times a e defina b=\frac{w}{|w|} Agora é fácil mostrar que os pontos da forma
P(\theta)=\left(c_{1}, c_{2}, c_{3}\right)+\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right) r \cos \theta+\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right) r \operatorname{sen} \theta

Passo 1

Resumimos o problema: queremos a equação de um círculo de centro
\,(c_{1},c_{2},c_{3}), raio r e contido em um plano arbitrário de equação
n_{1}(x-c_{1}) + n_{2}(y-c_{2}) + n_{3}(z-c_{3}) = 0.
O conteúdo envolve geometria analítica em \mathbb{R}^3, uso de produto escalar e produto vetorial para obter uma base ortonormal do plano.

Passo 2

Para obter a forma implícita, notamos que todo ponto (x,y,z) do círculo pertence simultaneamente à esfera de centro \bigl(c_{1},c_{2},c_{3}\bigr) e raio r e ao plano dado. Logo o círculo é a interseção destas duas superfícies:
\begin{cases} (x-c_{1})^{2} + (y-c_{2})^{2} + (z-c_{3})^{2} = r^{2},\\[4pt] n_{1}(x-c_{1}) + n_{2}(y-c_{2}) + n_{3}(z-c_{3}) = 0. \end{cases}]

Passo 3

Para uma representação paramétrica escolhemos um vetor \mathbf{v}\neq\mathbf{0} tal que
\langle \mathbf{n},\mathbf{v}\rangle=0. Normalizamos para obter
\mathbf{a} = \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}\,.
Em seguida definimos
\mathbf{w} = \mathbf{n}\times \mathbf{a}, \quad \mathbf{b} = \frac{\mathbf{w}}{\|\mathbf{w}\|}.
Os vetores \mathbf{a} e \mathbf{b} formam então uma base ortonormal do plano.

Passo 4

Usando essa base, a equação paramétrica do círculo é
P(\theta) \;=\; \underbrace{(c_{1},c_{2},c_{3})}_{\mathbf{c}} \;+\; r\cos\theta\;\mathbf{a} \;+\; r\sin\theta\;\mathbf{b},
com \theta\in[0,2\pi). Por construção satisfaz
\|P(\theta)-\mathbf{c}\|=r e
\langle P(\theta)-\mathbf{c},\,\mathbf{n}\rangle=0.

Resposta

A equação geral do círculo pode ser dada de duas formas equivalentes:
1\) Forma implícita (interseção de esfera e plano): \[\begin{cases} (x-c_{1})^{2} + (y-c_{2})^{2} + (z-c_{3})^{2} = r^{2},\\[4pt] n_{1}(x-c_{1}) + n_{2}(y-c_{2}) + n_{3}(z-c_{3}) = 0. \end{cases}
2\] Forma vetorial paramétrica: \[P(\theta) = (c_{1},c_{2},c_{3}) + r\cos\theta\,\mathbf{a} + r\sin\theta\,\mathbf{b},\] onde \(\mathbf{a}\perp\mathbf{n}, \mathbf{b}=(\mathbf{n}\times\mathbf{a})/\|\mathbf{n}\times\mathbf{a}\|.]

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