Encontre a equação geral de um círculo em um plano arbitrário
Dica: Considere o plano n_{1}\left(x-c_{1}\right)+n_{2}\left(y-c_{2}\right)+n_{3}\left(z-c_{3}\right)=0. Escolha uma solução da equação \langle n, v\rangle=0 e defina a=\frac{v}{|v|}. Seja w=n \times a e defina b=\frac{w}{|w|} Agora é fácil mostrar que os pontos da forma
P(\theta)=\left(c_{1}, c_{2}, c_{3}\right)+\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right) r \cos \theta+\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right) r \operatorname{sen} \theta
Passo 1
Resumimos o problema: queremos a equação de um círculo de centro \,(c_{1},c_{2},c_{3}), raio r e contido em um plano arbitrário de equação
O conteúdo envolve geometria analítica em \mathbb{R}^3, uso de produto escalar e produto vetorial para obter uma base ortonormal do plano.
Passo 2
Para obter a forma implícita, notamos que todo ponto (x,y,z) do círculo pertence simultaneamente à esfera de centro \bigl(c_{1},c_{2},c_{3}\bigr) e raio r e ao plano dado. Logo o círculo é a interseção destas duas superfícies:
Para uma representação paramétrica escolhemos um vetor \mathbf{v}\neq\mathbf{0} tal que \langle \mathbf{n},\mathbf{v}\rangle=0. Normalizamos para obter