Determine a equação da reta s que passa no ponto P=(1 ; 0 ; 1); intercepta a reta r:(2 ;-1 ; 3)+t(5 ; 4 ;-1), e perpendicular a reta r :

Passo 1

O problema pede a reta s que passa por P=(1,0,1), cruza a reta
r:;(x,y,z)=(2,-1,3)+t,(5,4,-1)
em um ponto Q e é perpendicular a r. A ideia é encontrar o pé da perpendicular de P em r (ou seja, o ponto Q) e então tomar s como a reta que une P a Q.

Passo 2

Escrevemos Q na forma
Q(t)=r0+t, v,
onde r0=(2,-1,3) e v=(5,4,-1). Como PQperp r, temos
l(P-Q(t)r)cdot v=0
Substituindo Q(t)=r0+t v obtemos
l(P-(r0+t v)r)cdot v=0

Passo 3

Calculemos os produtos internos. Primeiro
P-r0=(1,0,1)-(2,-1,3)=(-1,1,-2),
de modo que
vcdot(P-r0)=5(-1)+4(1)+(-1)(-2)=1,
e
vcdot v=5^2+4^2+(-1)^2=42
Logo
t= vcdot(P-r0) vcdot v=142

Passo 4

Com t=tfrac142, o ponto de interseção Q vale
Q=r0+142 v =l(2+542,,-1+442,,3-142r) =l(tfrac8942,,-tfrac1921,,tfrac12542r)

Passo 5

O vetor diretor de s é
PQ=P-Q =l(1-tfrac8942,,0-(-tfrac1921),,1-tfrac12542r) =l(-tfrac4742,,tfrac1921,,-tfrac8342r)
Multiplicando por 42 para limpar denominadores, obtemos o vetor (-47,38,-83), que podemos trocar de sinal para ,(47,-38,83).

Passo 6

Portanto, uma forma prática de escrever a reta s é
s:;(x,y,z)=(1,0,1)+lambda,(47,-38,83),
ou, em forma simétrica,
x-147=y-38=z-183

Resposta

s:;(x,y,z)=(1,0,1)+lambda,(47,-38,83).

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