Diga se o conjunto u, v, u / 2+5 v é LD ou LI. Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de três vetores
vec u,;vec v,;tfrac12vec u+5vec v
\u00e9 linearmente dependente (LD) ou independente (LI).
Para isso, lembramos que eles s\u00e3o LD se existir uma combina\u00e7\u00e3o n\u00e3o-trivial
c1vec u + c2vec v + c3l(tfrac12vec u+5vec vr)=vec0
com algum cineq0. Caso contr\u00e1rio, s\u00e3o LI.

Passo 2

Escrevemos a combinação genérica e agrupamos os termos de vec u e vec v:
c1vec u + c2vec v + c3l(tfrac12vec u+5vec vr) = l(c1+tfrac12c3r)vec u + l(c2+5c3r)vec v
Para que isso dê o vetor zero, precisamos de
c1 + tfrac12c3 = 0, c2 + 5c3 = 0

Passo 3

Basta escolher uma solu\u00e7\u00e3o n\u00e3o-trivial. Por exemplo, tome c3=-2.
Ent\u00e3o
c1 + tfrac12(-2)=0 implies c1=1, c2 +5(-2)=0 implies c2=10
Com isso,
1cdotvec u ;+;10cdotvec v;-;2l(tfrac12vec u+5vec vr) =vec0
\u00e9 uma combina\u00e7\u00e3o n\u00e3o-trivial igual a zero.

Passo 4

Como encontramos (c1,c2,c3)=(1,10,-2)neq(0,0,0) que anula a combinação, o conjunto é LD.

Resposta

O conjunto é linearmente dependente.

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