Determine a equação da reta que passa pelo ponto \mathrm{P}(-1,-2) e forma com os eixos coordenados um triângulo de área 4 u.a.

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta que passa por (-1,-2) e forma com os eixos coordenados um triângulo de área 4. O conteúdo é geometria analítica: usaremos a forma-intercepto da reta e a fórmula da área de um triângulo de vértices (0,0), (a,0), (0,b), cuja área é \bigl|ab\bigr|/2.

Passo 2

Se a reta intercepta o eixo x em (a,0) e o eixo y em (0,b), sua equação na forma-intercepto é
\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1.
A área do triângulo formado é
\frac{|a\,b|}{2}=4 \quad\Longrightarrow\quad |a\,b|=8.

Passo 3

Como a reta passa por (-1,-2), substituímos x=-1, y=-2 na forma-intercepto:
\frac{-1}{a}+\frac{-2}{b}=1 \quad\Longrightarrow\quad -\frac{1}{a}-\frac{2}{b}=1 \quad\Longrightarrow\quad -\;b-2\,a=a\,b \quad\Longrightarrow\quad a\,b+2\,a+b=0.

Passo 4

Temos duas possibilidades de produto:
  1. a\,b=8.
  2. a\,b=-8.

Passo 5

Caso a\,b=8:
Na equação a\,b+2a+b=0 substitui-se 8+2a+b=0, de onde b=-2a-8. Como a\,b=8, vem
a(-2a-8)=8 \quad\Longrightarrow\quad -2a^2-8a-8=0 \quad\Longrightarrow\quad a^2+4a+4=0 \quad\Longrightarrow\quad (a+2)^2=0 \quad\Longrightarrow\quad a=-2,
e então b=-2(-2)-8=4-8=-4. A reta fica
\frac{x}{-2}+\frac{y}{-4}=1 \quad\Longrightarrow\quad -\,\frac{x}{2}-\frac{y}{4}=1 \quad\Longrightarrow\quad 2x+y+4=0 \quad\Longrightarrow\quad y=-2x-4.

Passo 6

Caso a\,b=-8:
Da equação a\,b+2a+b=0 temos -8+2a+b=0, logo b=8-2a. Impor a\,b=-8
a(8-2a)=-8 \quad\Longrightarrow\quad -2a^2+8a+8=0 \quad\Longrightarrow\quad a^2-4a-4=0 \quad\Longrightarrow\quad a=\frac{4\pm\sqrt{16+16}}{2}=2\pm2\sqrt2.
Para cada a calculamos b=8-2a:
  • Se a=2+2\sqrt2, então b=8-2(2+2\sqrt2)=4-4\sqrt2.
  • Se a=2-2\sqrt2, então b=8-2(2-2\sqrt2)=4+4\sqrt2.
As duas retas são
\frac{x}{2+2\sqrt2}+\frac{y}{4-4\sqrt2}=1 \quad\text{e}\quad \frac{x}{2-2\sqrt2}+\frac{y}{4+4\sqrt2}=1,
que em forma explícita são, respectivamente,
y=(-6+4\sqrt2)\,x+(4-4\sqrt2) \quad\text{e}\quad y=(6+4\sqrt2)\,x+(4+4\sqrt2).

Resposta

As três retas que satisfazem as condições são:
\boxed{y=-2x-4}, \quad \boxed{y=(-6+4\sqrt2)\,x+(4-4\sqrt2)}, \quad \boxed{y=(6+4\sqrt2)\,x+(4+4\sqrt2)}.

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