(Questão 01)[4,0 pontos] Assinale \mathbf{F} para as afirmações FALSAS e \mathbf{V} para afirmações VERDADEIRAS. Não é necessário justificar.
( ) \vec{u} \cdot \vec{u}=\|\vec{u}\|^{2}.
( ) (\vec{v}, \vec{w}) LI, então \operatorname{proj}_{\vec{w}} \vec{v}=\operatorname{proj}_{\vec{v}} \vec{w}.
( ) Se A, B e C são pontos não colineares, então \|\overrightarrow{A C}\|=\|\overrightarrow{A B}\|+\|\overrightarrow{B C}\|.
( ) (\vec{u}, \vec{v}) \mathrm{LD} \Rightarrow(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) \mathrm{LD}.
( ) \vec{u} \cdot \vec{v}=0 \Leftrightarrow \vec{u} / / \vec{v}.
( ) Se ( \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} ) é base, então ( \vec{v}, \vec{w}, \vec{v} ) é também base.
( ) \operatorname{Seja}(\vec{u}, \vec{v}) \operatorname{LI} e \vec{w} \neq \overrightarrow{0}, então, \vec{w}=\operatorname{proj}_{\vec{u}} \vec{w}+\operatorname{proj}_{\vec{v}} \vec{w}.
( ) Para quaisquer vetores \vec{u}, \vec{v},\|\vec{u}+\vec{v}\| \leq\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|.
Passo 1
O enunciado traz oito afirmações sobre vetores em \mathbb{R}^n: produto escalar, norma, projeção, dependência/independência linear, base e desigualdade triangular. Nosso objetivo é analisar cada afirmação e decidir se é verdadeira (V) ou falsa (F).
Passo 2
Para a afirmação \vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^{2},
lembre que por definição \|\vec{u}\| = \sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}. Elevando ao quadrado, obtemos
\|\vec{u}\|^{2} = \vec{u}\cdot\vec{u},
logo a afirmação é verdadeira.
Passo 3
Para (\vec{v},\vec{w}) LI \Rightarrow \mathrm{proj}_{\vec{w}}\vec{v}=\mathrm{proj}_{\vec{v}}\vec{w},
lembre as fórmulas
Elas só coincidem em casos muito especiais (por exemplo \|\vec{v}\|=\|\vec{w}\|), não em geral. Logo é falsa.
Passo 4
Para
“A, B e C não colineares \Rightarrow \|\overrightarrow{AC}\|=\|\overrightarrow{AB}\|+\|\overrightarrow{BC}\|”,
isto seria igualdade no triângulo. Se não colineares, tem-se estrita desigualdade \|\overrightarrow{AC}\|<\|\overrightarrow{AB}\|+\|\overrightarrow{BC}\|. Então é falsa.
Passo 5
Em (\vec{u},\vec{v}) LD \Rightarrow (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) LD,
se \vec{u} e \vec{v} já são linearmente dependentes, qualquer conjunto que os contenha continua dependente. Logo é verdadeira.
Passo 6
Para \vec{u}\cdot\vec{v}=0\Leftrightarrow \vec{u}\parallel\vec{v},
o produto escalar zero significa ortogonalidade, não paralelismo. Então a afirmação é falsa.
Passo 7
Se (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) é base, então (\vec{v},\vec{w},\vec{v}) é base?
Repare que \vec{v} aparece duas vezes, tornando o conjunto linearmente dependente. Não é base. Então é falsa.
Passo 8
Para (\vec{u},\vec{v}) LI e \vec{w}\neq\vec{0}, \vec{w}=\mathrm{proj}_{\vec{u}}\vec{w}+\mathrm{proj}_{\vec{v}}\vec{w}.
Essa decomposição só vale se \vec{u},\vec{v} forem ortogonais (base ortonormal). Em geral não. Logo é falsa.
Passo 9
A desigualdade \|\vec{u}+\vec{v}\|\le\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|
é a conhecida desigualdade triangular. Vale para quaisquer vetores, portanto é verdadeira.